Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

DefinitionBearbeiten

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall   definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

 

Hierbei bestimmen die Parameter   (minimaler Wert),   (maximaler Wert) und   (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung (  und  ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die  -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert  .

 

EigenschaftenBearbeiten

VerteilungsfunktionBearbeiten

 
Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

 

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

 

Erwartungswert und MedianBearbeiten

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable   ist

 

Für   ist der Median   gegeben durch

 . Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

VarianzBearbeiten

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable   ergibt sich zu

 

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Summe gleichverteilter ZufallsgrößenBearbeiten

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit  , Standardabweichung  , mittlerer absoluter Abweichung   und Interquartilsabstand  .

Betrag der Differenz gleichverteilter ZufallsgrößenBearbeiten

Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen   ist dreiecksverteilt mit  .

TrapezverteilungBearbeiten

Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete DreiecksverteilungBearbeiten

Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten