Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Definition Bearbeiten

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

f(x)={\begin{cases}{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {2}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}

Hierbei bestimmen die Parameter $a$ (minimaler Wert), $b$ (maximaler Wert) und $c$ (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ( $a<b$ und $a\leq c\leq b$ ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die $y$ -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert $x\in \left[a,b\right]$ .

Eigenschaften Bearbeiten

Verteilungsfunktion Bearbeiten

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

F(x)={\begin{cases}{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}a\leq x<c\\{\frac {c-a}{b-a}},&{\text{wenn }}x=c\\1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}},&{\text{wenn }}c<x\leq b.\end{cases}}

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

F^{-1}(y)={\begin{cases}a+{\sqrt {y(b-a)(c-a)}},&{\text{wenn }}0\leq y\leq {\frac {(c-a)}{(b-a)}}\\b-{\sqrt {(b-a)(b-c)}}{\sqrt {(1-y)}},&{\text{wenn }}{\frac {(c-a)}{(b-a)}}\leq y\leq 1\end{cases}}

Erwartungswert und Median Bearbeiten

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ ist

\operatorname {E} (X)={\frac {a+b+c}{3}}.

Für $b-c>c-a$ ist der Median $m$ gegeben durch

m=b-{\sqrt {(b-a)(b-c)/2}}

. Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

Varianz Bearbeiten

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable $X$ ergibt sich zu

\operatorname {Var} (X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}={\frac {(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}}{36}}.

Beziehung zu anderen Verteilungen Bearbeiten

Summe gleichverteilter Zufallsgrößen Bearbeiten

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit $b-c=c-a$ , Standardabweichung ${\sqrt {6}}(b-a)/12\approx 0{,}204(b-a)$ , mittlerer absoluter Abweichung $(b-a)/6\approx 0{,}167(b-a)$ und Interquartilsabstand $(1-{\sqrt {2}}/2)(b-a)\approx 0{,}293(b-a)$ .

Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen Bearbeiten

Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen $|X_{1}-X_{2}|$ ist dreiecksverteilt mit $a=c=0$ .

Trapezverteilung Bearbeiten

Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete Dreiecksverteilung Bearbeiten

Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.

Literatur Bearbeiten

Norman L. Johnson, Samuel Kotz: Non-Smooth Sailing or Triangular Distributions Revisited after Some 50 Years. In: The Statistician, Vol. 48, No. 2 (1999), S. 179–187

Weblinks Bearbeiten

Eric W. Weisstein: Triangular Distribution. In: MathWorld (englisch).