Median (Stochastik)

Lagemaß für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Verteilungen von Zufallsvariablen

Der Median, auch Zentralwert genannt,[1] ist in der Stochastik ein Lagemaß für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Verteilungen von Zufallsvariablen. Somit ist er wie auch der Erwartungswert und der Modus eine Kennzahl dafür, wo sich die "Mitte" einer Wahrscheinlichkeitsverteilung befindet. Anschaulich ist der Median die Zahl, bei der

  • die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich dem Median zu erhalten und
  • die Wahrscheinlichkeit, einen Wert größer oder gleich dem Median zu erhalten

gleich ist. Es existieren mehrere Formalisierungen dieser intuitiven Vorstellung, die sich bezüglich der Existenz und Eindeutigkeit des Medians unterscheiden.

In der deskriptiven Statistik wird der Median für Stichproben definiert. Die beiden Begriffe unterscheiden sich insofern, als der eine Kennzahl einer Stichprobe ist (ähnlich dem arithmetischen Mittel), der andere eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist (ähnlich dem Erwartungswert). Die beiden sind per se verschieden, lassen sich aber über die empirische Verteilung verknüpfen.

Erste DefinitionBearbeiten

Für WahrscheinlichkeitsverteilungenBearbeiten

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  , also den reellen Zahlen, versehen mit der Borelschen σ-Algebra.

Dann heißt eine reelle Zahl   ein Median (von  ), wenn gilt:[2]

  und  .

Für ZufallsvariablenBearbeiten

Gegeben sei eine reelle Zufallsvariable  .

Dann heißt eine reelle Zahl   ein Median (von  ), wenn gilt:[2]

  und  .

Damit ist der Median der Zufallsvariable   genau der Median ihrer Verteilung  .

Definition über VerteilungsfunktionenBearbeiten

Ebenso lässt sich der Median auch über Verteilungsfunktionen definieren. Ist   die Verteilungsfunktion von   oder von  , so heißt   ein Median (von   oder von  ), wenn

  und  .

Hierbei bezeichnet   den linksseitigen Grenzwert.

Bestimmung und BeispieleBearbeiten

Bei stetiger VerteilungsfunktionBearbeiten

Ist die Verteilungsfunktion   stetig, so ist   genau dann ein Median, wenn   eine Lösung der Gleichung

 

ist.

Dies beruht auf der Tatsache, dass der linksseitige Grenzwert dann mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Beispiele
 
Median der Exponentialverteilung

Betrachtet man als Beispiel die Exponentialverteilung, so besitzt diese die Verteilungsfunktion

 

für einen Parameter  . Gleichsetzen mit   führt auf die Gleichung

 ,

welche die Lösung

 

besitzt. In diesem Fall ist der Median eindeutig.

 
Plot der Cantorfunktion (10 Iterationen)

Aber auch bei stetiger Verteilungsfunktion kann der Median mehrdeutig sein. Betrachtet man beispielsweise die Cantor-Verteilung, deren Verteilungsfunktion rechts abgebildet ist, so nimmt diese aufgrund ihrer Konstruktion auf dem gesamten Intervall   der Wert   an. Jeder Punkt in diesem Intervall ist somit ein Median. Eindeutig ist der Median bei stetiger Verteilungsfunktion beispielsweise dann, wenn die Verteilungsfunktion streng monoton wachsend ist. Spezieller gilt die Eindeutigkeit bereits dann, wenn die Verteilungsfunktion in der einer Umgebung, in der sie den Wert   annimmt, streng monoton wachsend ist.

Bei WahrscheinlichkeitsdichtenBearbeiten

Besitzt die Zufallsvariable beziehungsweise die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  , (sie ist demnach eine Absolutstetige Verteilung), so ist der Median   Lösung der Gleichung

 .

Dies folgt direkt aus der Tatsache, dass absolutstetige Verteilungen immer eine stetige Verteilungsfunktion besitzen, diese sich über das Integral bestimmen lässt und der Aussage im obigen Abschnitt.

Mehrere Mediane treten hier beispielsweise auf, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion auf einem Interval konstant null ist.

Beispiel

Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 ,

so ist diese im Interval   konstant Null. Über die elementaren Integrationsregeln folgt dann, dass jeder Wert in   ein Median ist. Das Lösen der Integralgleichung entspricht meist der Bestimmung der entsprechenden Verteilungsfunktion und kann damit als Spezialfall des Vorgehens im oberen Abschnitt angesehen werden.

Eindeutige DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   oder eine reelle Zufallsvariable  . Sei   die Verteilungsfunktion von   bzw.  . Dann heißt

 

der Median von   bzw.  .[3] Dies entspricht der folgenden Definition: Ist   die Quantilfunktion zu  , so ist der Median definiert als

 .

Wegen der Rechtsstetigkeit der Verteilungsfunktion kann bei der oberen der beiden Definitionen das Infimum auch durch ein Minimum ersetzt werden.

EigenschaftenBearbeiten

Bei dem Median handelt es sich um ein Quantil, genauer um das 50-%-Quantil.

Ist die Verteilung symmetrisch, gilt also  , so ist Null ein Median. Allgemeiner ist bei jeder symmetrischen Verteilung die Symmetrieachse ein Median.

Jeder Median   minimiert die absolute Abweichung, sprich ist   eine Zufallsvariable mit  , so gilt stets

  für alle  

und Gleichheit gilt genau dann, wenn auch   ein Median ist.

Beziehung zum Median der deskriptiven StatistikBearbeiten

Der Median in der deskriptiven Statistik (als Kennzahl einer Stichprobe) lässt sich über die empirische Verteilung mit dem Median einer Wahrscheinlichkeitsverteilung in Beziehung setzen: Ist eine Stichprobe   gegeben, und ist   die empirische Verteilung auf   so ist ein Median (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) von   ein Median (im Sinne der deskriptiven Statistik) von  . Aufgrund der verschiedenen Definitionen kann es jedoch auch zu leichten Abweichungen kommen.

Weitere DefinitionenBearbeiten

Am direktesten wird der Median als derjenige Wert, für den

 

gilt oder als   definiert. In beiden Definitionen ist die Existenz des Medians aber nicht garantiert. So ist für

 

immer  , da die Verteilungsfunktion nie den Wert   annimmt. Ebenso existiert kein  , so dass die obige Gleichungskette erfüllt ist: für alle   ist  , ebenso wie für alle   immer   gilt.

Außerdem ist zu beachten, dass die Verteilungsfunktionen in älterer russischsprachiger Literatur als linksstetig und nicht wie im deutschen Sprachraum als rechtsstetig definiert werden. So ist dann zum Beispiel im Falle des fairen Münzwurfes einmal   anstelle von  .

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 101, doi:10.1515/9783110215274.
  2. a b Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 233, doi:10.1515/9783110215274.
  3. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 113, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.