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Weibull-Verteilung

stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen
Weibull-Verteilung
Dichtefunktion
Weibull PDF.svg Dichtefunktion für verschiedene Formparameter
Verteilungsfunktion
Weibull CDF.svg Verteilungsfunktion für verschiedene Formparameter k
Parameter — Formparameter
— inverser Skalenparameter
Träger
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz

Die Weibull-Verteilung ist eine zweiparametrige Familie von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über der Menge der positiven reellen Zahlen. Bei geeigneter Wahl ihrer zwei Parameter ähnelt sie einer Normalverteilung, einer Exponentialverteilung oder anderen asymmetrischen Verteilungen. Sie wird unter anderem zur statistischen Modellierung von Windgeschwindigkeiten oder zur Beschreibung der Lebensdauer und Ausfallhäufigkeit von elektronischen Bauelementen oder (spröden) Werkstoffen herangezogen. Anders als eine Exponentialverteilung berücksichtigt sie die Vorgeschichte eines Objekts, sie ist gedächtnisbehaftet und berücksichtigt die Alterung eines Bauelements nicht nur mit der Zeit, sondern in Abhängigkeit von seinem Einsatz. Sie lässt sich an steigende, konstante und fallende Ausfallraten technischer Systeme anpassen. Benannt ist die Verteilung nach dem schwedischen Ingenieur und Mathematiker Waloddi Weibull. Eine besondere Bedeutung hat sie in der Ereigniszeitanalyse.

DefinitionBearbeiten

Die Weibull-Verteilung hat zwei Parameter.

SkalenparameterBearbeiten

Der Skalierungsparameter, Skalenparameter oder Skalierungsfaktor ist  .

In manchen Anwendungen, insbesondere bei Zeitabhängigkeiten wird   durch seinen Kehrwert, die charakteristische Lebensdauer  , ersetzt.   ist bei Lebensdauer-Analysen jene Zeitspanne, nach der ca. 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Dieser Wert ist eine Kenngröße der Weibull-Verteilung.

 .

Wird kein Skalenparameter angegeben, so ist implizit   gemeint.

FormparameterBearbeiten

Der Formparameter oder Weibull-Modul ist der Parameter  .

Alternativ werden gerne die Buchstaben   oder   verwendet.

In der Praxis typische Werte liegen im Bereich  .

Durch den Formparameter   lassen sich verschiedene speziellere Wahrscheinlichkeitsverteilungen realisieren:

  • Für   ergibt sich die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate.
  • Für   ergibt sich die Rayleigh-Verteilung.
  • Für   ergibt sich eine Verteilung mit verschwindender Schiefe (ähnlich der Normalverteilung).

Dichte, Verteilung etc.Bearbeiten

Gegeben sei eine Weibull-Verteilung mit Parametern  .

Die Dichtefunktion ist:

 

Die Verteilungsfunktion ist:

 

Die Zuverlässigkeit oder Überlebenswahrscheinlichkeit ist:

 

Die Ausfallrate ist:

 

Eine andere verbreitete Konvention ist die Parametrisierung durch  , d. h. die Weibull-Verteilung wird definiert als nichtnegative Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

  mit  ,  .

Diese Darstellung wird häufig im englischsprachigen Raum und bei Statistikprogrammen verwendet.

EigenschaftenBearbeiten

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert der Weibull-Verteilung ist

 

mit der Gammafunktion  .

VarianzBearbeiten

Die Varianz der Verteilung ist

 .

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe der Verteilung ist

 

mit dem Mittelwert   und der Standardabweichung  .

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Weibull-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

 

wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

AnwendungenBearbeiten

Bei Systemen mit unterschiedlichen Ausfallursachen wie beispielsweise technischen Komponenten lassen sich diese mit drei Weibull-Verteilungen so abbilden, dass sich eine „Badewannen-Kurve“ ergibt.[1] Die Verteilungen decken dann diese drei Bereiche ab:[2]

  • Frühausfälle mit  , beispielsweise in der Einlaufphase ("Kinderkrankheiten").
  • Zufällige Ausfälle mit   in der Betriebsphase
  • Ermüdungs- und Verschleißausfälle am Ende der Produktlebensdauer mit  

In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung Anwendung als eine spezielle Partikelgrößenverteilung. Hier wird sie allerdings als RRSB-Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet) bezeichnet.

Für   gehört die Verteilung zu den Verteilungen mit schweren Rändern, deren Dichte langsamer als exponentiell abfällt.

WeibullnetzBearbeiten

 
Weibullnetz

Trägt man die Verteilung in der Form

 

in einem doppelt logarithmischen Diagramm auf, welches auch als Weibullnetz bezeichnet wird, ergibt sich eine Gerade, bei der man den Parameter   leicht als Steigung ablesen kann. Die charakteristische Lebensdauer   kann dann folgendermaßen bestimmt werden:

 .

Hierbei bezeichnet   den y-Achsenabschnitt.

Oft kommt es vor, dass trotz Beanspruchung erst nach einer anfänglichen Betriebszeit   Ausfälle eintreten (beispielsweise infolge des Verschleiß von Bremsbelägen). Dies kann in der Weibull-Verteilungsfunktion berücksichtigt werden. Sie hat dann folgendes Aussehen:

 

Trägt man die Funktion wieder auf, ergibt sich keine Gerade, sondern eine nach oben konvexe Kurve. Verschiebt man alle Punkte um den Wert  , so geht die Kurve in eine Gerade über.

WindgeschwindigkeitBearbeiten

 
Windgeschwindigkeitshäufigkeiten.

Die Grafik zeigt beispielhaft eine Messreihe von Windgeschwindigkeiten (grün). Ein Gauß-Fit (blau) nähert sich den Zahlen nur ungenügend. Weder gibt es negative Windgeschwindigkeiten, noch ist die Verteilung symmetrisch. Eine Weibull-Verteilung führt einen zweiten freien Parameter ein. Durch sie wird die Verteilung für große und kleine Windgeschwindigkeiten sehr gut approximiert, ebenso die Werte um das Maximum. Aus den Fitparametern   und   folgt ein Erwartungswert von 4,5 m/s, in guter Übereinstimmung mit dem Wert von 4,6 m/s bestimmt aus den Messwerten.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

  • Man sieht, dass der Fall   die Exponentialverteilung   ergibt. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate  . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ( ) oder fallender ( ) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
  • Ist der Parameter  , dann wird ein System mit einer mit der Zeit ansteigenden Ausfallrate, also ein alterndes System, beschrieben.
  • Besitzt   eine Exponentialverteilung   mit Parameter  , dann besitzt die Zufallsvariable   eine Weibull-Verteilung  . Zum Beweis betrachte man die Verteilungsfunktion von  :
     .
    Das ist die Verteilungsfunktion einer Weibull-Verteilung.

Gestreckte ExponentialfunktionBearbeiten

Die Funktion

 

wird als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Bernard W. Lindgren: Statistical Theory. Chapman & Hall, New York u. a. 1993, ISBN 0-412-04181-2.
  • Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: Statistik. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-25905-9.
  • Horst Rinne, Hans-Joachim Mittag: Statistische Methoden der Qualitätssicherung. Hanser, München/Wien 2002, ISBN 3-446-15503-1.
  • Holger Wilker: Weibull-Statistik in der Praxis, Leitfaden zur Zuverlässigkeitsermittlung technischer Produkte. BoD, Norderstedt 2010, ISBN 978-3-8391-6241-5.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Weibull-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

QuellenBearbeiten

  1. Siehe auch: en:Exponentiated Weibull distribution
  2. Zuverlässigkeitssicherung bei Automobilherstellern und Lieferanten. 3. Auflage. VDA, Frankfurt a. M. 2000, ISSN 0943-9412, Abschnitt 2.4.3. (Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie 3)