Hyperexponentialverteilung

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Die Hyperexponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Anschaulich gesprochen ist sie eine Überlagerung mehrerer Exponentialverteilungen.

Beispiel für die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Hyperexponentialverteilung
Die durchgezogene, blaue Linie zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Hyperexponentialverteilung am Beispiel p1=0.9, p2=0.1, λ1=1 und λ2=20.

DefinitionBearbeiten

Seien   (mit  ) unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Raten   und seien   Wahrscheinlichkeiten, deren Summe 1 ergibt. Dann heißt die Zufallsvariable   hyperexponentialverteilt, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt:[1]

 

Einordnung und BemerkungenBearbeiten

Bei einer Exponentialverteilung ist der Variationskoeffizient (Standardabweichung geteilt durch Erwartungswert) gleich 1. Die Bezeichnung „hyper“-exponential rührt daher, dass der Variationskoeffizient hier größer als 1 ist (sofern verschiedene   auftreten). Im Unterschied dazu ist er bei der Hypoexponentialverteilung kleiner als 1. Während die Exponentialverteilung das stetige Analogon zur geometrischen Verteilung ist, ist die Hyperexponentialverteilung kein Analogon zur hypergeometrischen Verteilung. Die Hyperexponentialverteilung ist ein Beispiel für eine Mischverteilung.

Als Anwendungsbeispiel kann die Auslastung eines Internetanschlusses dienen, über welchen entweder (mit Wahrscheinlichkeit   und Rate  ) Internettelefonie oder (mit Wahrscheinlichkeit   und Rate  ) Dateiübertragungen laufen, wobei  . Die Gesamtauslastung ist dann hyperexponentialverteilt.

Eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung, inklusive endlastiger Verteilungen, kann durch eine Hyperexponentialverteilung angenähert werden, indem rekursiv verschiedene Zeitskalen ( ) mittels der sogenannten Prony-Methode angefittet werden.[2]

EigenschaftenBearbeiten

Aus der Linearität des Integrals ergibt sich:

 

und

 

Mit Hilfe des Verschiebungssatzes ergibt sich daraus die Varianz:[3]

 

Sofern nicht alle   gleich groß sind, ist die Standardabweichung größer als der Erwartungswert.

Die momenterzeugende Funktion ist

 

Siehe auchBearbeiten

Fußnoten und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. L. N. Singh, G. R. Dattatreya: Estimation of the Hyperexponential Density with Applications in Sensor Networks. In: International Journal of Distributed Sensor Networks. 3, Nr. 3, 2007, S. 311. doi:10.1080/15501320701259925.
  2. A. Feldmann, W. Whitt: Fitting mixtures of exponentials to long-tail distributions to analyze network performance models. In: Performance Evaluation. 31, Nr. 3–4, 1998, S. 245. doi:10.1016/S0166-5316(97)00003-5.
  3. H. T. Papadopolous, C. Heavey, J. Browne: Queueing Theory in Manufacturing Systems Analysis and Design. Springer, 1993, ISBN 9780412387203, S. 35.