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Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ

Die Exponentialverteilung (auch negative Exponentialverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, die durch eine Exponentialfunktion gegeben ist. Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Dauer von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z. B.

  • Zeit zwischen zwei Anrufen
  • Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
  • Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen.
  • als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik

steht für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen Ereignissen (Intervalllänge ) wahrscheinlicher. Seltener treten aber auch sehr lange Intervalle auf. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann durchaus Werte >1 annehmen (z. B. für ), da die Fläche unter der Kurve auf 1 normiert ist. Konkrete Wahrscheinlichkeitsangaben über das Eintreten des nächsten Ereignisses gewinnt man hier am ehesten aus der Verteilungsfunktion.

Oft ist die tatsächliche Verteilung keine Exponentialverteilung, jedoch ist die Exponentialverteilung einfach zu handhaben und wird zur Vereinfachung unterstellt. Sie ist anwendbar, wenn ein Poisson-Prozess vorliegt, also die poissonschen Annahmen erfüllt sind.

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der viel größeren und allgemeineren Exponentialfamilie, einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die sich durch eine leichte Handhabbarkeit auszeichnen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine stetige Zufallsvariable   genügt der Exponentialverteilung   mit dem positiven reellen inversen Skalenparameter  , wenn sie die Dichtefunktion

 

besitzt. Wenn eine Zufallsvariable diese Dichte hat, dann schreibt man auch  .

Der Parameter   besitzt den Charakter einer Ereignisrate und   den eines Ereignisabstandes (mittlere Reichweite oder mittlere Lebensdauer).

Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Wahrscheinlichkeitsdichte

 .

Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach  . Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den Erwartungswert explizit anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert   zu sprechen.

EigenschaftenBearbeiten

VerteilungsfunktionBearbeiten

 
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ

Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

 

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von 0 bis x.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als x bis zum nächsten Ereignis beträgt  .

ErwartungswertBearbeiten

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert  , denn

 .

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet.

MedianBearbeiten

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei

 .

ModusBearbeiten

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei   an, d. h., der Modus ist

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz ergibt sich analog mittels

 .

StandardabweichungBearbeiten

Für die Standardabweichung ergibt sich

 .

VariationskoeffizientBearbeiten

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

 .

Also gilt

 .

Geometrischer MittelwertBearbeiten

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

 ,

wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Weitere StreumaßeBearbeiten

Die mittlere absolute Abweichung

 

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

 

ist noch etwas kleiner.

SchiefeBearbeiten

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter   immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch   gilt.

WölbungBearbeiten

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter   immer den Wert 9.

QuantileBearbeiten

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

 .

Damit ist der Interquartilabstand  .

Höhere MomenteBearbeiten

Die k-ten Momente sind

 .

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

KumulantenBearbeiten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

  für  .

Damit ist die k-te Kumulante  

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion hat die Form

 .

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist

  für  .

EntropieBearbeiten

Die Entropie der Exponentialverteilung beträgt

 .

ÜberlebenswahrscheinlichkeitBearbeiten

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

 

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt   bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

 

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die Ausfallrate   ergibt sich zu

 

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

GedächtnislosigkeitBearbeiten

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne gedächtnislos: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable   den Wert   überschreitet, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie   um mindestens   überschreitet, genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter  ) den Wert   überschreitet, formal

 .

Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der daraus entstehenden Funktionalgleichung. Das diskrete Pendant hierzu ist die geometrische Verteilung als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Sind   stochastisch unabhängig, so ist  

Sind   stochastisch unabhängig, so ist   eine Linearkombination von Exponentialverteilungen, sind die   alle gleich, so ist die Summe   Erlang-verteilt.

Beziehung zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zur stetigen GleichverteilungBearbeiten

Wenn   eine auf dem Intervall   gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, dann genügt   der Exponentialverteilung mit dem Parameter  .

Beziehung zur NormalverteilungBearbeiten

Sind die Zufallsvariablen   und   standardnormalverteilt und unabhängig, so ist   exponentialverteilt mit Parameter  .

Beziehung zur geometrischen VerteilungBearbeiten

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines Ereignisses, das gemäß einem Poisson-Prozess auftritt; die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

Beziehung zur GammaverteilungBearbeiten

  • Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des  -ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter   ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern   und  . Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von   unabhängigen,  -verteilten Zufallsvariablen gamma- oder Erlang-verteilt mit Parametern   und  .
  • Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben   ergibt eine Gammaverteilung mit  ,  .

Beziehung zur Gamma-Gamma-VerteilungBearbeiten

Ist der Parameter   der Exponentialverteilung   eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung   verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung   verteilt.

Beziehung zur Pareto-VerteilungBearbeiten

Wenn   Pareto-verteilt   mit Parametern   und   ist, dann ist   exponentialverteilt   mit dem Parameter  .

Beziehung zur Poisson-VerteilungBearbeiten

Die Abstände zwischen dem Eintreten zufälliger Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate   exponentialverteilt mit dem Parameter   ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge   Poisson-verteilt mit Parameter  .

Herleitung: Sei w eine Orts- oder Zeitvariable und   die kleine konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w. Dann findet man mit den poissonschen Annahmen die Wahrscheinlichkeit für das nächste Eintreten eines Ereignisses im kleinen Intervall   als Produkt der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis bis w und eins im Intervall   zu haben:

 

Daraus ergibt sich nach Division durch   die Wahrscheinlichkeitsdichte   der Exponentialverteilung mit   als Ereignisrate und   als mittlerem Ereignisabstand.

Beziehung zur Erlang-VerteilungBearbeiten

  • Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum  -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall   geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über  , mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.
  • Die Summe von   unabhängigen   exponentialverteilten Zufallsgrößen hat die Erlang-Verteilung  -ter Ordnung  .

Beziehung zur Weibull-VerteilungBearbeiten

  • Mit   geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate  . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ( ) oder fallender ( ) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
  • Wenn   exponentialverteilt ist, dann ist   Weibull-verteilt.

Beziehung zur Chi-Quadrat-VerteilungBearbeiten

Die Chi-Quadrat-Verteilung geht für   in die Exponentialverteilung mit dem Parameter   über.

Beziehung zur Rayleigh-VerteilungBearbeiten

Wenn   exponentialverteilt ist mit Rate  , dann ist   Rayleigh-verteilt mit Skalenparameter  .

Beziehung zur Laplace-VerteilungBearbeiten

Sind   zwei unabhängige Zufallsvariablen, die beide Exponentialverteilt zum Parameter   sind, dann ist sowohl   als auch   Laplace-verteilt.

AnwendungsbeispielBearbeiten

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate  .

Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht.

Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen.

Die Zufallsgröße   „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt mit der Ausfallrate  . Entsprechend beträgt die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt,   Tage.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens (noch) 20 Tage hält, ist

 

d. h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen.

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,

 

also halten durchschnittlich ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage.

Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der Badewannenkurve verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate   höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung (Weibull-Verteilung) notwendig.

ZufallszahlenBearbeiten

Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Inverse der Verteilungsfunktion   lautet hierbei  . Zu einer Folge von Standardzufallszahlen   lässt sich daher eine Folge   exponentialverteilter Zufallszahlen berechnen. Einfacher kann stattdessen auch   gerechnet werden.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten