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Eine Überlebensfunktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Stochastik, die eine Ergänzung zum Konzept der Verteilungsfunktion darstellt. Wie auch bei Verteilungsfunktionen kann jeder Überlebensfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet werden. Umgekehrt kann jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen eine Überlebensfunktion zugeordnet werden.

Ihren Namen tragen die Überlebensfunktionen aufgrund der Tatsache, dass sie bei der Modellierung von Lebensdauern auftreten, beispielsweise von Individuen oder von Bauteilen. Gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Sterbewahrscheinlichkeit einer Spezies an, so entspricht die Überlebensfunktion an der Stelle der Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum älter als wird. Es „überlebt“ also den Zeitpunkt . Eine übliche graphische Darstellung ist die Überlebenskurve.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf  , versehen mit der Borelschen σ-Algebra  , oder eine reellwertige Zufallsvariable  . Dann heißt

 

beziehungsweise

 

die Überlebensfunktion von   beziehungsweise  .

EigenschaftenBearbeiten

Ähnlich wie bei den Verteilungsfunktionen gilt:

  • Es ist   und  
  • Die Funktion   ist monoton fallend
  • Die Funktion   ist rechtsseitig stetig

Beziehung zur VerteilungsfunktionBearbeiten

Ist   die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung   und   die Überlebensfunktion von  , so gilt

  für alle  .

Ebenso gilt für eine Zufallsvariable  

  für alle  .

Dies folgt direkt aus den Definitionen der jeweiligen Funktionen und der Normiertheit der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Denn die Verteilungsfunktion ist genau die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleinergleich   anzunehmen, die Überlebensfunktion die Wahrscheinlichkeit, einen Wert echt größer als   anzunehmen. Somit ist ihre Summe die Wahrscheinlichkeit, irgendeinen Wert anzunehmen und damit eins.

Damit kann aus jeder Überlebensfunktion eine Verteilungsfunktion gewonnen werden. Ebenso kann aus jeder Verteilungsfunktion eine Überlebensfunktion gewonnen werden. Insbesondere lässt sich damit analog zum Vorgehen bei Verteilungsfunktionen jeder Funktion, welche die drei unter „Eigenschaften“ aufgezählten Punkte erfüllt, zur Überlebensfunktion einer eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung erklären (siehe auch Korrespondenzsatz).

Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit und RestlebedauerBearbeiten

Sieht man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Wahrscheinlichkeit an, dass ein Individuum stirbt oder ein Bauteil versagt, so ist man häufig an einer Neueinschätzung der Überlebensdauer interessiert. Hat zum Beispiel eine Qualitätskontrolle ergeben, dass ein Bauteil zum Zeitpunkt   noch arbeitet, so wird sich auf der Basis dieser Information die Einschätzung die Wahrscheinlichkeit verändern. Mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man dann für die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

 

und für die Restlebensdauer

 

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten