Gedächtnislosigkeit

Gedächtnislosigkeit ist eine spezielle Eigenschaft der Exponentialverteilung und der geometrischen Verteilung. Sie besagt, dass die bedingten Wahrscheinlichkeitsverteilungen für beliebige Vorbedingungen gleich sind.

Gedächtnislosigkeit findet z. B. in der Warteschlangentheorie Anwendung, wo sie – auf die Wartezeit in einer Warteschlange bezogen – bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit t Sekunden zu warten, nachdem man zuvor s Sekunden gewartet hat, für beliebige s gleich ist. Die Zufallsvariable „merkt“ sich also nicht, wie lange gewartet wurde, und ist daher gedächtnislos. Diesen Umstand macht man sich auch bei der Überlebensfunktion zu Nutze, mit der man z. B. modelliert, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Komponente nicht von der bereits verstrichenen Nutzungsdauer abhängt.

Die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit heißt auch Nichtalterungseigenschaft[1].

DefinitionBearbeiten

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen   ist gedächtnislos, wenn für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt:

 

für alle   und  .

D. h. die bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht der unbedingten Wahrscheinlichkeit, verschoben um die Vorbedingung  . Zum Beispiel:

 

Gedächtnislosigkeit ist eine definierende Eigenschaft. Auf einem stetigen Wahrscheinlichkeitsraum ist die Exponentialverteilung die gedächtnislose Verteilung, auf einem diskreten die geometrische Verteilung.

ExponentialverteilungBearbeiten

Für die Exponentialverteilung erhält man durch Einsetzen in die Definition:

 .

In der Überlebenszeitanalyse wird die obige Formel wie folgt interpretiert: Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer   den Wert   überschreitet unter der Bedingung, dass sie bereits den Wert   überschritten hat, ist gleich der (nicht bedingten) Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer den Wert   überschreitet. Beträgt die Lebensdauer bereits   Zeiteinheiten, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Individuum noch mindestens   weitere Zeiteinheiten überlebt, ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass ein gleichartiges Individuum mindestens   Zeiteinheiten überlebt.[2]

Geometrische VerteilungBearbeiten

Für die geometrische Verteilung mit der Definition   für   erhält man:

 

Markow-KettenBearbeiten

Markow-Ketten bezeichnet man als gedächtnislos, wenn der zukünftige Zustand des Prozesses nur von Informationen des aktuellen Zustandes abhängt und nicht von der weiteren Vergangenheit. Somit kann man sagen, dass eine Markov-Kette ein Gedächtnis der Länge 1 hat. Diese Eigenschaft wird als Markow-Eigenschaft bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie: eine fundierte Einführung mit über 500 realitätsnahen Beispielen und Aufgaben, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 978-3-528-03183-1.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Exponentialverteilung. In: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 110.
  2. Karl Mosler und Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Springer-Verlag, 2011, S. 97.