Rayleigh-Verteilung

kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

DefinitionBearbeiten

Eine stetige Zufallsvariable   heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter  , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

 

EigenschaftenBearbeiten

MomenteBearbeiten

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

 ,

wobei   die Gammafunktion darstellt.

ErwartungswertBearbeiten

Der Erwartungswert ergibt sich zu

 .

VarianzBearbeiten

Die Varianz der Verteilung ist

 .

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

 .

SchiefeBearbeiten

Für die Schiefe erhält man

 .

Wölbung (Kurtosis)Bearbeiten

Die Wölbung ergibt sich zu

 .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion ist

 .

wobei   die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende FunktionBearbeiten

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

 ,

wobei   wiederum die Fehlerfunktion ist.

EntropieBearbeiten

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

 ,

wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

ModusBearbeiten

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für  , denn für   gilt

 .

Damit ist   der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat   den Wert

 .

ParameterschätzungBearbeiten

Die Maximum-Likelihood-Schätzung von   aus Messwerten   erfolgt über:

 

Beziehungen zu anderen VerteilungenBearbeiten

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-VerteilungBearbeiten

Wenn  , dann ist   Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden:  

Beziehung zur Weibull-VerteilungBearbeiten

 

Beziehung zur Rice-VerteilungBearbeiten

 

Beziehung zur ExponentialverteilungBearbeiten

Wenn   exponentialverteilt ist  , dann ist  .

Beziehung zur GammaverteilungBearbeiten

Wenn  , dann ist   gammaverteilt mit den Parametern   und  :  .

Beziehung zur NormalverteilungBearbeiten

  ist Rayleigh-verteilt, wenn   und   zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.

LiteraturBearbeiten

  • Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.