Hauptmenü öffnen

Der Modus, auch Modalwert genannt,[1] ist ein Lageparameter in der deskriptiven Statistik. Er ist definiert als der häufigste Wert, der in der Stichprobe vorkommt. Werden beispielsweise Klausurnoten einer Schulklasse erhoben, so entspricht der Modus derjenigen Note oder denjenigen Noten, die am häufigsten vergeben wurde(n).

Im Gegensatz zu anderen Lagemaßen hat der Modus den Vorteil, dass er immer existiert. Er ist jedoch im Allgemeinen nicht eindeutig.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt, heißt ein Modus der Stichprobe.[2] Damit ist ein Modus genau ein Gipfel der entsprechenden Häufigkeitsverteilung.[3]

Als Notationen für den Modus finden sich meist   oder  .

BeispieleBearbeiten

NominalskalaBearbeiten

Gegeben sei die Stichprobe

 

Es treten die Merkmalsausprägungen   und   auf. Dabei tritt   einmal auf, ebenso wie  . Sowohl   als auch   treten zweimal auf. Des Weiteren gibt es kein Merkmal, das dreimal oder öfter auftritt. Also ergeben sich als Modi

 

und

 

OrdinalskalaBearbeiten

Bei einer Klassenarbeit wurden die Noten

 

vergeben. Die Noten   und   wurden jeweils einmal vergeben, die Note   zweimal und die Note   dreimal. Keine weitere Note wurde viermal vergeben, also ist der Modus

 .

KardinalskalaBearbeiten

Betrachtet man die Stichprobe

 

So kommen alle Werte bis auf die   jeweils nur einmal vor, die   jedoch dreimal. Also ist der Modus

 

Eigenschaften und VergleichBearbeiten

Der Modus ist immer definiert, allerdings auch im Allgemeinen nicht eindeutig. Beides zeigt das Beispiel unter #Nominalskala: Keines der gängigen Lagemaße ist in solch einem Allgemeinen Rahmen anwendbar, jedoch treten bei dieser Stichprobe zwei Modi auf. Der Extremfall tritt ein, wenn alle Merkmalsausprägungen in der Stichprobe voneinander verschieden sind. Dann tritt jede nur einmal auf und damit ist jede auch ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur lässt sich zusätzlich zum Modus noch der Median definieren. Die beiden müssen nicht übereinstimmen, so wäre im Beispiel unter #Ordinalskala der Median

 ,

wohingegen der Modus als

 

bestimmt wurde. Bei vorliegen einer Kardinalskala kann zusätzlich noch das arithmetische Mittel bestimmt werden. Modus, Median und arithmetisches Mittel können jedoch weit auseinanderliegen. So ist der Modus im Beispiel unter #Kardinalskala als

 

bestimmt worden. Für den Median ergibt sich

 

und für das arithmetische Mittel

 .

Aufbauende BegriffeBearbeiten

Häufigkeitsverteilungen mit zwei oder mehr Modi werden als Multimodale Verteilungen bezeichnet. Dabei werden Verteilungen mit zwei Modi als bimodal bezeichnet. Verteilungen mit lediglich einem Modus werden unimodal genannt.

Charakterisierung der NeigungBearbeiten

In Beobachtungsreihen mit ordinal- und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus die Neigung der Verteilung – ähnlich der statistischen Schiefe – charakterisieren.[4] Die Modus-Schiefe nach Karl Pearson ist zum Beispiel definiert als

 .

Folgende Faustregel setzt Modus, Median und arithmetisches Mittel in Beziehung:[5]

  • rechtsschiefe (linkssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus < Median < arithmetisches Mittel
  • linksschiefe (rechtssteile) Häufigkeitsverteilung: Modus > Median > arithmetisches Mittel
  • unimodale symmetrische Häufigkeitsverteilung: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 37, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
  2. Karl Bosch: Elementare Einführung in die angewandte Statistik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 20.
  3. Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 68, doi:10.1007/978-3-658-13640-6.
  4. Markus Wirtz, Christof Nachtigall: Deskriptive Statistik – Statistische Methoden für Psychologen. 5. Auflage. Juventa, 2008.
  5. Paul T. von Hippel: Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule. Journal of Statistics Education Volume 13, Number 2, 2005.