Fehlerfunktion

mathematische Funktion

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der speziellen Funktionen die durch das Integral

Graph der Fehlerfunktion

definierte Funktion. Damit ist die Fehlerfunktion eine Stammfunktion von , und zwar die einzige ungerade (gerade Funktionen mit Stammfunktion besitzen genau eine ungerade solche).

Für ein reelles Argument ist eine reellwertige Funktion; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente siehe unten.

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion, findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.

BezeichnungenBearbeiten

Die Bezeichnung   kommt von error function.

Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion   ist gegeben durch:

 

Die verallgemeinerte Fehlerfunktion   wird durch das Integral

 

definiert.

EigenschaftenBearbeiten

Es gilt:

 

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

 

VerwendungBearbeiten

Verwandtschaft mit der NormalverteilungBearbeiten

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Sie hat jedoch eine Zielmenge von  , während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich   annehmen muss.

Es gilt für die Standardnormalverteilung

 

bzw. für die Verteilungsfunktion   einer beliebigen Normalverteilung mit Standardabweichung   und Erwartungswert  

 

Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer Messreihe vom gemeinsamen Mittelwert durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung   und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist   die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen   und   liegt (für positives  ).

Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der Inversionsmethode normalverteilte Pseudozufallszahlen zu generieren.[1]

WärmeleitungsgleichungBearbeiten

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn Randwertbedingungen durch die Heaviside-Funktion vorgegebenen sind.

Numerische BerechnungBearbeiten

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

 

für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

 

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von  :[2]

 

mit

 

und

 

Eine für alle reellen Werte von   schnell konvergierende Entwicklung[3] erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:[4][5]

 

Durch geeignete Wahl von   und   ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei   kleiner als   ist:

 

WertetabelleBearbeiten

           
0,00 0,0000000 1,0000000 1,30 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,40 0,9522851 0,0477149
0,10 0,1124629 0,8875371 1,50 0,9661051 0,0338949
0,15 0,1679960 0,8320040 1,60 0,9763484 0,0236516
0,20 0,2227026 0,7772974 1,70 0,9837905 0,0162095
0,25 0,2763264 0,7236736 1,80 0,9890905 0,0109095
0,30 0,3286268 0,6713732 1,90 0,9927904 0,0072096
0,35 0,3793821 0,6206179 2,00 0,9953223 0,0046777
0,40 0,4283924 0,5716076 2,10 0,9970205 0,0029795
0,45 0,4754817 0,5245183 2,20 0,9981372 0,0018628
0,50 0,5204999 0,4795001 2,30 0,9988568 0,0011432
0,55 0,5633234 0,4366766 2,40 0,9993115 0,0006885
0,60 0,6038561 0,3961439 2,50 0,9995930 0,0004070
0,65 0,6420293 0,3579707 2,60 0,9997640 0,0002360
0,70 0,6778012 0,3221988 2,70 0,9998657 0,0001343
0,75 0,7111556 0,2888444 2,80 0,9999250 0,0000750
0,80 0,7421010 0,2578990 2,90 0,9999589 0,0000411
0,85 0,7706681 0,2293319 3,00 0,9999779 0,0000221
0,90 0,7969082 0,2030918 3,10 0,9999884 0,0000116
0,95 0,8208908 0,1791092 3,20 0,9999940 0,0000060
1,00 0,8427008 0,1572992 3,30 0,9999969 0,0000031
1,10 0,8802051 0,1197949 3,40 0,9999985 0,0000015
1,20 0,9103140 0,0896860 3,50 0,9999993 0,0000007

Komplexe FehlerfunktionBearbeiten

 
Die komplexe Fehlerfunktion   im Bereich   und  . Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.

Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente   ausgeweitet werden:

 

In diesem Fall ist   eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt

 .

Die imaginäre Fehlerfunktion   ist gegeben durch

 

mit der Reihenentwicklung

 .

Zur Berechnung können   und weitere verwandte Funktionen auch durch die Faddeeva-Funktion   ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek libcerf zur Verfügung.[6]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function. (Memento des Originals vom 5. Mai 2007 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/home.online.no
  2. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.
  3. H. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11.
  4. Moritz Cantor: Bürmann, Heinrich. In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Band 47, Duncker & Humblot, Leipzig 1903, S. 392–394.
  5. E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld
  6. Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.