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Die Maximum-Likelihood-Methode, kurz ML-Methode, (von englisch maximale Wahrscheinlichkeit bzw. sinngemäß Methode der größten Plausibilität[1]) oder auch Maximum-Likelihood-Schätzung bezeichnet in der Statistik ein parametrisches Schätzverfahren. Dabei wird – vereinfacht ausgedrückt – derjenige Parameter als Schätzung ausgewählt, gemäß dessen Verteilung die Realisierung der beobachteten Daten am plausibelsten erscheint.

Im Falle einer von einem Parameter abhängigen Wahrscheinlichkeitsfunktion

wird zu einem beobachteten Ausgang also die folgende Likelihood-Funktion für verschiedene Parameter betrachtet:

Dabei bezeichnet den Ergebnisraum und den Parameterraum (Raum aller möglichen Parameterwerte).

Für einen bestimmten Wert des Parameters entspricht die Likelihood-Funktion (Wahrscheinlichkeitsfunktion) der Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis zu beobachten. Als Maximum-Likelihood-Schätzung wird entsprechend dasjenige bezeichnet, für das die Likelihood-Funktion maximal wird. Im Falle stetiger Verteilungen gilt eine analoge Definition, nur wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion in dieser Situation durch die zugehörige Dichtefunktion ersetzt. Allgemein lassen sich Maximum-Likelihood-Methoden für beliebige statistische Modelle definieren, solange die entsprechende Verteilungsklasse eine dominierte Verteilungsklasse ist.

Inhaltsverzeichnis

MotivationBearbeiten

Einfach gesprochen bedeutet die Maximum-Likelihood-Methode Folgendes: Wenn man statistische Untersuchungen durchführt, untersucht man in der Regel eine Stichprobe mit einer bestimmten Anzahl von Objekten einer Grundgesamtheit. Da die Untersuchung der gesamten Grundgesamtheit in den meisten Fällen hinsichtlich der Kosten und des Aufwandes unmöglich ist, sind die wichtigen Kennwerte der Grundgesamtheit unbekannt. Solche Kennwerte sind z. B. der Erwartungswert oder die Standardabweichung. Da man diese Kennwerte jedoch zu den statistischen Rechnungen, die man durchführen möchte, benötigt, muss man die unbekannten Kennwerte der Grundgesamtheit anhand der bekannten Stichprobe schätzen.

Die Maximum-Likelihood-Methode wird nun in Situationen benutzt, in denen die Elemente der Grundgesamtheit als Realisierung eines Zufallsexperiments interpretiert werden können, das von einem unbekannten Parameter abhängt, bis auf diesen aber eindeutig bestimmt und bekannt ist. Entsprechend hängen die interessanten Kennwerte ausschließlich von diesem unbekannten Parameter ab, lassen sich also als Funktion von ihm darstellen. Als Maximum-Likelihood-Schätzer wird nun derjenige Parameter bezeichnet, der die Wahrscheinlichkeit, die Stichprobe zu erhalten, maximiert.

Die Maximum-Likelihood-Methode ist aufgrund ihrer Vorteile gegenüber anderen Schätzverfahren (beispielsweise die Methode der kleinsten Quadrate und die Momentenmethode) das wichtigste Prinzip zur Gewinnung von Schätzfunktionen für die Parameter einer Verteilung.

Eine heuristische HerleitungBearbeiten

Es wird nun folgendes Beispiel betrachtet: Es gibt eine Urne mit einer großen Anzahl von Kugeln, die entweder schwarz oder rot sind. Da die Untersuchung aller Kugeln praktisch unmöglich erscheint, wird eine Stichprobe von zehn Kugeln (etwa mit Zurücklegen) gezogen. In dieser Stichprobe seien nun eine rote und neun schwarze Kugeln. Ausgehend von dieser einen Stichprobe soll nun die wahre Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel in der Gesamtpopulation (Urne) zu ziehen, geschätzt werden.

 
Drei Likelihood-Funktionen für Parameter p einer Binomialverteilung für verschiedene Anzahlen k von roten Kugeln in einer Stichprobe von n=10 Kugeln

Die Maximum-Likelihood-Methode versucht diese Schätzung nun so zu erstellen, dass das Auftreten unserer Stichprobe damit am wahrscheinlichsten wird. Dazu könnte man ausprobieren, bei welchem Schätzer die Wahrscheinlichkeit für unser Stichprobenergebnis maximal wird.

Probiert man beispielsweise   als Schätzer für die Wahrscheinlichkeit   einer roten Kugel, so kann man mit Hilfe der Binomialverteilung   die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses (genau eine rote Kugel) berechnen: das Ergebnis ist  .

Probiert man es mit   als Schätzer für  , berechnet also   für die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine rote Kugel gezogen wird, ist das Ergebnis  .

Die Wahrscheinlichkeit, dass das beobachtete Ergebnis (genau eine rote Kugel) in der Stichprobe durch eine Populationswahrscheinlichkeit für rote Kugeln von   verursacht wurde, ist also größer als bei  . Damit wäre nach der Maximum-Likelihood-Methode   ein besserer Schätzer für den Anteil   roter Kugeln in der Grundgesamtheit. Es erweist sich, dass für   (siehe rote Linie für   in der Grafik) die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses am größten ist. Deshalb ist   die Maximum-Likelihood-Schätzung von  . Man kann zeigen, dass sich allgemein bei   roten Kugeln in der Stichprobe   als Maximum-Likelihood-Schätzung von   ergibt.

DefinitionBearbeiten

Bei der Maximum-Likelihood-Methode wird von einer Zufallsvariablen   ausgegangen, deren Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion   von einem unbekannten Parameter   abhängt. Liegt eine einfache Zufallsstichprobe mit   Realisierungen   von   unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen   vor, so lässt sich die gemeinsame Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt faktorisieren:

 .

Statt nun für einen festen Parameter   die Dichte für beliebige Werte   auszuwerten, kann umgekehrt für beobachtete und somit feste Realisierungen   die gemeinsame Dichte als Funktion von   interpretiert werden. Dies führt zur Likelihood-Funktion

 .

Die Likelihood-Funktion ist algebraisch identisch zur gemeinsamen Dichte  .[2] Wird diese Funktion in Abhängigkeit von   maximiert[3]

 ,

so erhält man die Maximum-Likelihood-Schätzung für den unbekannten Parameter  . Es wird also der Wert von   gesucht, bei dem die Stichprobenwerte   die größte Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion haben. Es ist naheliegend, einen Parameterwert   als umso plausibler anzusehen je höher die Likelihood. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist in diesem Sinne der plausibelste Parameterwert für die Realisierungen   der Zufallsvariablen  . Ist   differenzierbar, so kann das Maximum bestimmt werden, indem man die erste Ableitung nach   bildet und diese dann Null setzt. Da dieses bei Dichtefunktionen mit komplizierten Exponentenausdrücken sehr aufwändig werden kann, wird häufig die logarithmierte Likelihood-Funktion bzw. logarithmische Likelihood-Funktion (kurz: Log-Likelihood-Funktion) verwendet, da sie auf Grund der Monotonie des Logarithmus ihr Maximum an derselben Stelle wie die nichtlogarithmierte Dichtefunktion besitzt, jedoch einfacher zu berechnen ist:

 ,

wobei   die individuellen Beiträge zur Log-Likelihood-Funktion sind.

BeispieleBearbeiten

Diskrete Verteilung, kontinuierlicher ParameterraumBearbeiten

Die Anzahl der Anrufe bei zwei Telefonisten in einer Stunde in einem Call-Center kann mit einer Poisson-Verteilung

  und  

modelliert werden. Beim ersten Telefonisten gehen drei und beim zweiten fünf Anrufe pro Stunde unabhängig voneinander ein. Die Likelihood-Funktion für den unbekannten Parameter   ergibt sich als

 
 
Likelihood-Funktion im nebenstehenden Beispiel

Setzt man die Werte in die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

ein, so folgt

 .

Die erste Ableitung der Likelihood-Funktion ergibt sich zu

 

und die Nullstellen zu   und  . Nur für   hat die Likelihood-Funktion ein Maximum und dies ist der Maximum-Likelihood-Schätzwert.

Im allgemeinen Fall, mit   Telefonisten, die jeweils   Anrufe pro Stunde erhalten, ergibt sich die Likelihood-Funktion als

 

und die Log-Likelihood-Funktion als

 

Die Ableitung nach   ergibt

 

und nach Umformen ergibt sich der Maximum-Likelihood-Schätzer als

 

und die zugehörige Schätzfunktion als

 

Diskrete Verteilung, endlicher ParameterraumBearbeiten

Eine Urne enthält   Kugeln, die entweder rot oder schwarz sind. Die genaue Anzahl   der roten Kugeln ist nicht bekannt. Nacheinander werden   Kugeln gezogen und jeweils wieder zurück in die Urne gelegt. Beobachtet werden   (erste Kugel ist rot),   (zweite Kugel ist rot),   (dritte Kugel ist schwarz) und   (vierte Kugel ist rot).

Gesucht ist nun die nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip plausibelste Zusammensetzung der Kugeln in der Urne.

In jedem Zug ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, gleich  . Wegen der Unabhängigkeit der Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses und damit die zugehörige Likelihood-Funktion in Abhängigkeit vom unbekannten Parameter   gegeben durch

 

Es ergeben sich folgende Funktionswerte:

                   
  0 0,002 0,012 0,033 0,063 0,092 0,105 0,084 0

Daraus ergibt sich dass die Likelihood-Funktion   maximal ist für  . Damit ist   der plausibelste Parameterwert für die Realisierung drei roter Kugeln bei vier Ziehungen und somit der Schätzwert nach der Maximum-Likelihood-Methode.

Stetige Verteilung, kontinuierlicher ParameterraumBearbeiten

Seien   Realisierungen einer Zufallsstichprobe   einer Normalverteilung   mit unbekanntem Erwartungswert   und unbekannter Varianz  . Die Dichtefunktion für jede einzelne Realisierung ist dann gegeben durch

 .

Dann ist

 .

die Likelihood-Funktion von  . Als Log-Likelihood-Funktion (auch logarithmische Plausibilitätsfunktion genannt) ergibt sich

 .

Bildet man die partiellen Ableitungen von   nach   und   (bildet man also die Score-Funktionen) und setzt man beide Ausdrücke gleich null, dann erhält man die beiden Likelihood-Gleichungen

 

und

 .

Löst man nun nach   und   dann erhält man die beiden Maximum-Likelihood-Schätzungen

 

und

 .

Geht man von den Zufallsvariablen   und nicht von ihren Realisierungen   aus, erhält man den Stichprobenmittelwert

 

und die Stichprobenvarianz

 

als Maximum-Likelihood-Schätzer.

Tatsächlich hat die Funktion   an dieser Stelle ihr Maximum (siehe Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit).

Für den Erwartungswert von   ergibt sich

 ,

das heißt, der Maximum-Likelihood-Schätzer   ist erwartungstreu für den unbekannten Parameter  .

Man kann zeigen, dass für den Erwartungswert von  

 

gilt (siehe unbekannter Erwartungswert). Der Maximum-Likelihood-Schätzer   für die unbekannte skalare Störgrößenvarianz   ist also nicht erwartungstreu. Allerdings kann man zeigen, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer   asymptotisch erwartungstreu für   ist.

Historische EntwicklungBearbeiten

Die Maximum-Likelihood-Methode geht auf Ronald Aylmer Fisher zurück, der sie zunächst in relativer Unkenntnis von Vorarbeiten durch Gauß in Arbeiten von 1912, 1921 und schließlich 1922 unter dem später bekannten Namen entwickelte. Die Hauptergebnisse wurden auch bereits 1908 von Francis Ysidro Edgeworth hergeleitet.[4][5]

Maximum-Likelihood-SchätzungBearbeiten

Als Maximum-Likelihood-Schätzung, kurz MLS bezeichnet man in der Statistik eine Parameterschätzung, die nach der Maximum-Likelihood-Methode berechnet wurde. In der englischen Fachliteratur ist die Abkürzung MLE (für maximum likelihood estimation oder maximum likelihood estimator) dafür sehr verbreitet. Eine Schätzung, bei der Vorwissen in Form einer A-priori-Wahrscheinlichkeit einfließt, wird Maximum-a-posteriori-Schätzung (kurz MAP) genannt.

Eigenschaften von Maximum-Likelihood-SchätzernBearbeiten

Die besondere Qualität von Maximum-Likelihood-Schätzern äußert sich darin, dass sie in der Regel die effizienteste Methode zur Schätzung bestimmter Parameter darstellt.

ExistenzBearbeiten

Unter bestimmten Regularitätsbedingungen lässt sich beweisen, dass Maximum-Likelihood-Schätzer existieren, was aufgrund ihrer impliziten Definition als eindeutiger Maximalstelle einer nicht näher bestimmten Wahrscheinlichkeitsfunktion nicht offensichtlich ist. Die für diesen Beweis benötigten Voraussetzungen bestehen im Prinzip ausschließlich aus Annahmen zur Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation, was in den meisten betrachteten Modellen erfüllt ist.

Asymptotische NormalitätBearbeiten

Wenn Maximum-Likelihood-Schätzer existieren, dann sind sie asymptotisch normalverteilt. Formal gesprochen sei   der Maximum-Likelihood-Schätzer für einen Parameter   und   erwartete Fisher-Information. Dann gilt

 

bzw.

 .

Allgemeine TestsBearbeiten

 
Arbeitsweise der drei Tests im Rahmen der Maximum-Likelihood-Methode.

Die Konvergenz der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion   gegen eine Normalverteilung erlaubt die Ableitung allgemeiner Tests zur Prüfung von Modellen und Koeffizienten:

Die Grafik rechts zeigt die Arbeitsweise der Tests auf: Der Likelihood-Quotienten-Test vergleicht die Werte der Likelihood-Funktionen miteinander, der Wald-Test prüft den Abstand zwischen dem geschätzten Parameter und dem vorgegebenen Parameter und der Score-Test, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion Null ist.

Da diese Tests nur asymptotisch gültig sind, gibt es für „kleine“ Stichprobenumfänge oft Tests mit besseren Optimalitätseigenschaften.

Likelihood-Quotienten-TestBearbeiten

Im Likelihood-Quotienten-Test wird geprüft, ob sich zwei hierarchisch geschachtelte Modelle (englisch nested models) signifikant voneinander unterscheiden. Ist   ein Parametervektor, sind   zwei Parameterräume (  reduziertes Modell,   volles Modell) sowie   die Likelihood-Funktion, dann gilt unter der Nullhypothese (  vs.  )

 .

Eine Ablehnung der Nullhypothese bedeutet, dass das „volle Modell“ (das Modell unter der Alternativhypothese) eine signifikant bessere Erklärung liefert als das „reduzierte Modell“ (das Modell unter der Nullhypothese bzw. Nullmodell) .

Wald-TestBearbeiten

Während der Likelihood-Quotienten-Test Modelle vergleicht, zielt der Wald-Test auf einzelne Koeffizienten (univariat) oder Koeffizientengruppen (multivariat). Asymptotisch und unter der Nullhypothese   folgt

 .

D.h. die Wald-Teststatistik ist unter o. g. Voraussetzungen standardnormalverteilt. Hierbei bezeichnet   die Fisher-Information.

Akaike-InformationskriteriumBearbeiten

Die Maximum-Likelihood-Methode ist auch eng mit dem Akaike-Informationskriterium (AIC) verknüpft. Hirotsugu Akaike zeigte, dass das Maximum der Likelihood-Funktion ein verzerrter Schätzer für die Kullback-Leibler-Divergenz, der Abstand zwischen dem wahren Modell und dem Maximum-Likelihood-Modell, ist. Je größer der Wert der Likelihood-Funktion ist, desto näher liegt das Modell am wahren Modell, gewählt wird das Modell, das den geringsten AIC-Wert aufweist. Die asymptotische erwartungstreue ist gerade die Anzahl der zu schätzenden Parameter. Mit dem Akaike-Informationskriterium kann man, im Gegensatz zum Likelihood-Quotienten-, Wald- und Score-Test, auch nichtgeschachtelte ML-Modelle vergleichen.

Nachteile der MethodeBearbeiten

Die wünschenswerten Eigenschaften des Maximum-Likelihood-Ansatzes beruhen auf der entscheidenden Annahme über den datenerzeugenden Prozess, das heißt auf der unterstellten Dichtefunktion der untersuchten Zufallsvariable. Der Nachteil der Maximum-Likelihood-Methode besteht darin, dass eine konkrete Annahme über die gesamte Verteilung der Zufallsvariable getroffen werden muss. Wenn diese jedoch verletzt ist, kann es sein, dass die Maximum-Likelihood-Schätzer inkonsistent sind.

Nur in einigen Fällen ist es unerheblich, ob die Zufallsvariable tatsächlich der unterstellten Verteilung gehorcht, allerdings gilt dies nicht im Allgemeinen. Per Maximum-Likelihood gewonnene Schätzer, die konsistent sind, auch wenn die zu Grunde gelegte Verteilungsannahme verletzt wird, sind sogenannte Pseudo-Maximum-Likelihood-Schätzer.

Maximum-Likelihood-Schätzer können Effizienzprobleme und systematische Fehler in kleinen Stichproben aufweisen.

Sind die Daten nicht zufällig, kann man mit anderen Methoden oft bessere Parameter ermitteln. Das kann beispielsweise bei Quasi-Monte-Carlo-Analysen eine Rolle spielen, oder wenn die Daten bereits gemittelt sind.

Anwendungsbeispiel: Maximum-Likelihood in der molekularen PhylogenieBearbeiten

Das Maximum-Likelihood-Kriterium gilt als eine der Standardmethoden zur Berechnung von phylogenetischen Bäumen, um Verwandtschaftsbeziehungen zwischen Organismen – meist anhand von DNA- oder Proteinsequenzen – zu erforschen. Als explizite Methode ermöglicht Maximum-Likelihood die Anwendung verschiedener Evolutionsmodelle, die in Form von Substitutionsmatrizen in die Stammbaumberechnungen einfließen. Entweder werden empirische Modelle verwendet (Proteinsequenzen) oder die Wahrscheinlichkeiten für Punktmutationen zwischen den verschiedenen Nukleotiden werden anhand des Datensatzes geschätzt und hinsichtlich des Likelihood-Wertes ( ) optimiert (DNA-Sequenzen). Allgemein gilt ML als die zuverlässigste und am wenigsten Artefakt-anfällige Methode unter den phylogenetischen Baumkonstruktionsmethoden. Dies erfordert jedoch ein sorgfältiges Taxon-„Sampling“ und meist ein komplexes Evolutionsmodell.

LiteraturBearbeiten

  • Schwarze, Jochen: Grundlagen der Statistik – Band 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik, 6. Auflage, Berlin; Herne: Verlag Neue Wirtschaftsbriefe, 1997
  • Blobel, Volker und Lohrmann, Erich: Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse. Teubner Studienbücher, Stuttgart; Leipzig 1998, ISBN 978-3-519-03243-4.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Alice Zheng, Amanda Casari: Merkmalskonstruktion für Machine Learning: Prinzipien und Techniken der Datenaufbereitung
  2. George G. Judge, R. Carter Hill, W. Griffiths, Helmut Lütkepohl, T. C. Lee. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. 2. Auflage. John Wiley & Sons, New York/ Chichester/ Brisbane/ Toronto/ Singapore 1988, ISBN 0-471-62414-4, S. 64.
  3. Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer Heidelberg New York Dordrecht London (2014). ISBN 978-3-642-37886-7, S. 14.
  4. R. A. Fisher: An absolute criterion for fitting frequency curves. In: Messenger of Math. Nr. 41, S. 155, 1912. JSTOR 2246266 (online)
  5. John Aldrich: R. A. Fisher and the Making of Maximum Likelihood 1912–1922. In: Statistical Science. Band 12, Nr. 3, S. 162–176, 1997, doi:10.1214/ss/1030037906, JSTOR 2246367.