Asymptotische Normalität

statistisches Konzept

Die asymptotische Normalität ist in der mathematischen Statistik eine Eigenschaft von Statistiken bzw. Schätzern. Eine Statistik, der diese Eigenschaft zukommt, wird als asymptotisch normale Statistik oder asymptotisch normalverteilte Statistik bezeichnet. Asymptotisch normale Statistiken zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Verteilung im Grenzwert gegen die Standardnormalverteilung konvergiert (bezüglich der Konvergenz in Verteilung). Dies ermöglicht die Konstruktion approximativer statistischer Verfahren.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine mit einer Indexmenge   indizierte Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen   sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum   und eine Folge von Zufallsvariablen   auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Dann heißt eine Folge von Statistiken   asymptotisch normalverteilt oder asymptotisch normal, wenn es Folgen

  und  

gibt, so dass

  in Verteilung für alle  .

Die normierten und reskalierten Verteilungen konvergieren also gegen die Standardnormalverteilung.

VerwendungBearbeiten

Asymptotisch normalverteilte Statistiken sind ein Hilfsmittel in der asymptotischen Statistik. Ist die Verteilung einer Statistik   unbekannt, aber asymptotisch normalverteilt, so kann man sie durch

 

annähern. Hierbei bezeichnet   die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die Stichprobengröße   sollte groß genug sein, um den Näherungsfehler klein zu halten. Diese Näherungsmöglichkeit erlaubt es, exakte statistische Methoden, die auf normalverteilte Statistiken zugeschnitten sind (Gauß-Test etc.), als approximative Verfahren auf asymptotisch normalverteilte Statistiken zu übertragen.

LiteraturBearbeiten