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Standardisierung (Statistik)

Transformation einer Zufallsvariablen
Dichten einer standardisierten (blau) und zweier nicht standardisierter Normalverteilungen (rot und violett)

Unter Standardisierung oder z-Transformation versteht man in der mathematischen Statistik eine Transformation einer Zufallsvariablen, so dass die resultierende Zufallsvariable den Erwartungswert Null und die Varianz Eins besitzt. Die Standardabweichung entspricht der Wurzel der Varianz und ist somit auch gleich Eins.

Standardisierte ZufallsvariableBearbeiten

Eine standardisierte Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert 0 und deren Varianz 1 beträgt.

EinsatzzweckBearbeiten

Standardisierung ist z. B. notwendig, um unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander vergleichen zu können. Außerdem sind für einige statistische Verfahren, wie beispielsweise die Faktorenanalyse, standardisierte Zufallsvariablen notwendig.

Herleitung der mathematischen FormelBearbeiten

Sei   eine Zufallsvariable mit Erwartungswert   und Varianz   (und dementsprechend Standardabweichung  ), so erhält man die zugehörige standardisierte Zufallsvariable   durch Zentrierung und anschließender Division durch die Standardabweichung[1]

 .

Für die so erhaltene Zufallsvariable   gilt:

  •  
  •  

Ist   normalverteilt mit Erwartungswert   und Varianz  , so ist   standardnormalverteilt, d. h.  .

Abgrenzung zur StudentisierungBearbeiten

In vielen Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica ist die Möglichkeit einer Standardisierung der Messergebnisse bereits eingebaut. Genau genommen sollte hier aber von einer Studentisierung gesprochen werden, da die genaue Verteilung der zugrundeliegenden Zufallsvariablen nicht bekannt ist und somit statt des Erwartungswerts das arithmetische Mittel und statt der Varianz die empirische Varianz verwendet werden muss. Oftmals werden allerdings die Begriffe des Studentisierens und des Standardisierens synonym verwendet.

WortherkunftBearbeiten

Der Begriff des z-Transformierens beziehungsweise die Verwendung des Buchstaben   ist insofern gebräuchlich, als insbesondere im zentralen Grenzwertsatz (dieser beginnt mit einem Z) standardisierte Zufallsvariablen verwendet werden.

LiteraturBearbeiten

  • Bortz, Schuster: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 7. Auflage. Springer, 2001.
  • Falk u. a.: Foundations of statistical analyses and applications with SAS. Birkhäuser, 2002.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 4. Auflage. Nelson Education, 2015, S. 728.