Statistik (Funktion)

spezielle mathematische Funktion

Eine Statistik ist eine spezielle mathematische Funktion im gleichnamigen Teilgebiet der Mathematik, der Statistik. Statistiken unterscheiden sich strukturell nicht von Schätzfunktionen wie beispielsweise Punktschätzern, werden aber aufgrund der grundlegend unterschiedlichen Aufgaben, für die sie herangezogen werden, von diesen unterschieden.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   sowie ein Messraum  . Dann heißt eine messbare Funktion

 

eine Statistik. Dabei bedeutet Messbarkeit, dass für alle   aus der σ-Algebra   die Urbilder   in der σ-Algebra   enthalten sind.

Bemerkung zur DefinitionBearbeiten

Die Messbarkeit einer Funktion ist beispielsweise garantiert, wenn sie von dem   in den   abbildet, stetig ist und als σ-Algebren die entsprechenden Borelsche σ-Algebren   gewählt sind. Meist sind diese σ-Algebren standardmäßig gewählt.

Die Messbarkeit ist nötig, um analog zum Vorgehen bei Zufallsvariablen die Verteilung der Statistik definieren zu können. Dies bedeutet, dass man auch Ausdrücke wie

 

untersuchen will. Dies wird dann als Bildmaß definiert über

 .

Die Messbarkeit garantiert hier, dass die rechte Seite wohldefiniert ist.

AbgrenzungBearbeiten

Mathematisch stimmen die Begriffe "messbare Funktion", "Zufallsvariable", "(Punkt)schätzer" und "Statistik" überein. Zentraler Punkt ihrer gemeinsamen Definition ist, dass diese die Konstruktion von Verteilungen und Bildmaßen ermöglicht.

Wichtiger Punkt bei der Unterscheidung von Schätzfunktion und Statistik ist die Verwendung und Interpretation der Funktion. So ordnen und strukturieren Statistiken vorhandene Informationen (wie die Ordnungsstatistik) oder sind Hilfsmittel für die Konstruktion von Verfahren (wie die Teststatistik).

Im Gegensatz dazu werten die Schätzfunktionen vorhandene Daten aus, versuchen einen Wert möglichst gut zu erraten und unterliegen dabei gewissen Qualitätskriterien.

Die Unterscheidung ist teils schwierig. Man betrachte ein statistisches Modell, das das n-malige Werfen mit einer möglicherweise asymmetrischen Münze formalisiert, also

    und    .

Dabei steht Ber für die Bernoulli-Verteilung. Dann ist das Stichprobenmittel

    definiert durch    

ein Punktschätzer für den Parameter  . Die Funktion

    definiert durch    

unterscheidet sich von dem Punktschätzer nur um den Vorfaktor  , kann aber als Statistik verwendet werden, welche die Beobachtungstiefe reduziert. Sie reduziert die vollständige Beschreibung des Experimentes mit der Reihenfolge der Würfe auf die Information, wie oft die gewünschte Seite geworfen wurde.

LiteraturBearbeiten