Dominierte Verteilungsklasse

Eine dominierte Verteilungsklasse ist in der mathematischen Statistik eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die alle absolut stetig bezüglich eines Maßes sind. Statistische Modelle mit dominierten Verteilungsklassen sind einfacher zu handhaben als solche ohne, da die Existenz einer Wahrscheinlichkeitsdichte garantiert ist und damit Methoden wie die Maximum-Likelihood-Methode angewandt werden können. Außerdem existieren für dominierte Verteilungsklassen gut handhabbare Kriterien für Suffizienz und Minimalsuffizienz.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Messraum   sowie eine Menge   von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesem Messraum. Die Menge   heißt dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn ein σ-endliches Maß   existiert, so dass für alle   gilt, dass

 

gilt. Jedes   ist also absolut stetig bezüglich  , das heißt für alle   mit   gilt auch  . Dies wird dann auch mit   notiert.

BeispieleBearbeiten

  • Per Definition ist die Exponentialfamilie eine dominierte Verteilungsklasse, da sie als genau die Verteilungsklasse definiert ist, die eine vorgegebene Dichte bezüglich eines Maßes hat.
  • Definiert man als Verteilungsklasse   genau diejenigen Wahrscheinlichkeitsmaße auf  , die eine Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen, so ist auch dies eine dominierte Verteilungsklasse. Dominierendes Maß ist hier das Lebesgue-Maß.
  • Ist   die Cantor-Verteilung und definiert man mit obigem   die neue Verteilungsklasse als  , so ist per se nicht klar, ob   eine dominierte Verteilungsklasse ist oder nicht.   wird jetzt nicht mehr durch das Lebesque-Maß dominiert, da die Cantor-Verteilung keine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes hat. Nicht klar ist aber, ob es ein anderes σ-endliches Maß gibt, dass   dominiert, oder ob ein solches Maß nicht existieren kann und damit die Verteilungsklasse zu einer nicht dominierten Verteilungsklasse macht.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   eine dominierte Verteilungsklasse, so wird diese Klasse auch immer durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß dominiert. Denn ist   ein σ-endliches Maß, das die Verteilungsklasse dominiert, so lässt sich durch
 
ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren, das die Verteilungsklasse dominiert. Dabei sind die   eine Zerlegung von   mit  , wie in der Definition des σ-endlichen Maßes gefordert wird.
  • Ist   eine dominierte Verteilungsklasse, so existiert immer ein  , so dass   und   eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus   ist. Es gilt also
 .
Dabei bezeichnet   die Menge aller  -Nullmengen. Dieses   spielt eine wichtige Rolle im Satz von Halmos-Savage und einigen aus ihm abgeleiteten Ergebnissen.
  • Ist   eine dominierte Verteilungsklasse und ist   die Klasse der n-fachen Produktmaße, so ist auch   dominiert.
  • Ist   dominiert durch   und ist   eine messbare Funktion und sind alle Bildmaße   unter   σ-endlich, so ist auch die Verteilungsklasse der Bildmaße   dominiert von  .
  • Ist   separabel bezüglich der Totalvariationsmetrik, so ist   dominiert.
  • Ist   die von   erzeugte Lokationsklasse, so ist   genau dann eine dominierte Verteilungsklasse, wenn   dominiert ist.
  • Ist die σ-Algebra   des statistischen Modells separabel und die Verteilungsklasse dominiert, so ist die Verteilungsklasse separabel bezüglich der Totalvariationsmetrik.

VerwendungBearbeiten

Nach dem Satz von Radon-Nikodým existieren für dominierte Verteilungsklassen immer Wahrscheinlichkeitsdichten bezüglich des dominierenden Maßes. Diese Existenzaussage ermöglicht bei stochastischen Modellen, die mit einer dominierten Verteilungsklasse ausgestattet sind, die Anwendung von Methoden, die auf Wahrscheinlichkeitsdichten beruhen. Ein Beispiel hierfür ist die Maximum-Likelihood-Methode.

Außerdem existieren bei dominierten Verteilungsklassen Kriterien, welche die Überprüfung der Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken erleichtern. Die meisten dieser Kriterien bauen auf dem Satz von Halmos-Savage unter Verwendung des oben konstruierten Maßes   auf. Eines dieser Kriterien ist das Neyman-Kriterium, das beispielsweise die Suffizienz der Exponentialfamilie liefert.

Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich auch ableiten, dass für dominierte Verteilungsklassen immer eine minimalsuffiziente σ-Algebra existiert. Sie wird von den Dichten der   bezüglich   erzeugt.

LiteraturBearbeiten