Satz von Halmos-Savage

Der Satz von Halmos-Savage ist ein Lehrsatz der mathematischen Statistik, der bei Vorliegen einer dominierten Verteilungsklasse ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren (und damit auch von Statistiken) liefert. Damit ist der Satz von Halmos-Savage ein Hilfsmittel, um zu überprüfen, ob gewisse Funktionen eine Datenkompression ohne Informationsverlust ermöglichen. Aus dem Satz von Halmos-Savage lässt sich das leichter zu handhabende Neyman-Kriterium für Suffizienz ableiten. Ebenso lassen sich aus dem Satz Kriterien für die Existenz von minimalsuffizienten σ-Algebren ableiten.

Der Satz wurde 1949 von Paul Halmos und Leonard J. Savage bewiesen.[1]

RahmenbedingungenBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   mit einer dominierten Verteilungsklasse  .

Für eine beliebige Verteilungsklasse   sei   die Menge aller  -Nullmengen. Für eine dominierte Verteilungsklasse existiert nun immer ein dominierendes  , so dass   und   eine abzählbare Konvexkombination mit echt positiven Koeffizienten von Elementen aus   ist. Es gilt also

 .

AussageBearbeiten

Sei   eine dominierte Verteilungsklasse und   wie oben angegeben. Dann ist eine Unter-σ-Algebra   von   genau dann suffizient, wenn für alle   eine Funktion   existiert, so dass    -fast sicher die Radon-Nikodým-Ableitung von   bezüglich   ist, also

 .

BeispielBearbeiten

Seien   σ-Algebren und sei   suffizient. Außerdem sei   eine dominierte Verteilungsklasse. Dann existiert nach dem Satz von Halmos-Savage ein  , so dass   und

 .

Da aber   ist, gilt  . Da   immer noch die Dichten-Eigenschaft erfüllt, ist mit nochmaliger Anwendung des Satzes auch   suffizient.

Man beachte, dass diese Aussage im Allgemeinen nicht gilt und dies eines der Defizite des Suffizienzbegriffs darstellt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Halmos, Savage: Application of the Radon-Nikodym Theorem to the Theory of Sufficient Statistics, Annals of Mathematical Statistics, Band 20, 1949, S. 225–241, Project Euclid