Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

AussageBearbeiten

Für σ-AlgebrenBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   mit dominierter Verteilungsklasse  , die von   dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra   von  .

Dann ist   suffizient genau dann, wenn eine  -messbare Funktion   existiert und für jedes   eine  -messbare Funktion   existiert, so dass

 

gilt bis auf eine  -Nullmenge. Dabei ist   die Radon-Nikodým-Ableitung von   bezüglich  .

Für StatistikenBearbeiten

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

 

suffizient genau dann, wenn eine  -messbare Funktion   existiert und für jedes   eine  -messbare Funktion   existiert, so dass

 

gilt bis auf eine  -Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass   eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn   eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der ExponentialfamilieBearbeiten

Per Definition hat für die Exponentialfamilie   bezüglich   jedes   die Dichtefunktion

 

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung.   und   sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

 

um zu zeigen, dass   eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.

LiteraturBearbeiten