Satz von Radon-Nikodým

mathematischer Satz

In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodým die Ableitung einer Funktion auf Maße und signierte Maße. Er gibt darüber Auskunft, wann ein (signiertes) Maß durch das Lebesgue-Integral einer Funktion darstellbar ist, und ist sowohl für die Maß- als auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung.

Benannt ist der Satz nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall bewies, und dem Polen Otton Marcin Nikodým, der 1930 den allgemeinen Fall beweisen konnte.

VorbemerkungBearbeiten

Ist   ein Maß auf dem Messraum   und ist   eine bezüglich   integrierbare oder quasiintegrierbare messbare Funktion, so wird durch

  für alle  ,

ein signiertes Maß   auf   definiert. Ist   nicht-negativ, so ist   ein Maß. Ist   integrierbar bezüglich  , so ist   endlich.

Die Funktion   heißt dann Dichtefunktion von   bezüglich  . Ist   eine  -Nullmenge, das heißt, ist  , so ist auch  . Das (signierte) Maß   ist also absolut stetig bezüglich   (in Zeichen  ).

Der Satz von Radon-Nikodým besagt, dass unter bestimmten Bedingungen auch die Umkehrung gilt:

Formulierung des SatzesBearbeiten

Sei   ein σ-endliches Maß auf dem Messraum   und sei   ein σ-endliches signiertes Maß, das absolut stetig bezüglich   ist ( ).

Dann besitzt   eine Dichtefunktion bezüglich  , das heißt, es existiert eine messbare Funktion  , so dass

  für alle  .

Ist   eine weitere Funktion mit dieser Eigenschaft, so stimmt sie  -fast überall mit   überein. Ist   ein Maß, so ist   nicht-negativ. Ist   endlich, so ist   integrierbar bezüglich  .

Die Dichtefunktion   wird auch als Radon-Nikodým-Dichte oder Radon-Nikodým-Ableitung von   bezüglich   bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als   geschrieben.

Der Satz kann auf komplexe, aber nicht generell auf vektorielle Maße   verallgemeinert werden. Im Fall vektorieller Maße hängt die Gültigkeit vom verwendeten Banachraum für die Werte des Maßes ab. Diejenigen Räume, für die der Satz seine Gültigkeit behält, nennt man Räume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft.

EigenschaftenBearbeiten

  • Es seien  ,  , und    -endliche Maße auf demselben Messraum. Falls   und   (  und   sind absolut stetig bezüglich  ), dann gilt
     -fast überall.
  • Falls   ist, dann gilt
     -fast überall.
  • Falls   und   eine  -integrierbare Funktion ist, dann gilt
 
  • Falls   und   ist, dann gilt
 
 

Spezialfall WahrscheinlichkeitsmaßeBearbeiten

Es sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   sei ein zu   äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h.   und  . Dann existiert eine positive Zufallsvariable  , so dass   und  , wobei   den Erwartungswert bezüglich   bezeichnet. Ist   eine reelle Zufallsvariable, so ist   genau dann, wenn  . Für den Erwartungswert bezüglich   gilt in diesem Fall  . (Für die Notation siehe auch Lp-Raum.)

Ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß   auf der reellen Geraden   absolut stetig bzgl. des Lebesgue-Maßes  , so ist die Radon-Nikodým-Dichte   die Wahrscheinlichkeitsdichte von  , im Sinne von Gleichheit  -fast überall. In diesem Fall nennt man   eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung; insbesondere kann   dann nicht diskret sein.

Weiterführende AussagenBearbeiten

Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert eine weiterführende Aussage für den Fall, dass   nicht absolut stetig bezüglich   ist. Er befasst sich mit der Existenz und Eindeutigkeit einer Zerlegung von  , so dass ein Teil absolutstetig bezüglich   ist, also eine Dichte bezüglich   besitzt, und ein anderer Teil singulär bezüglich   ist.

Ebenso gibt es Formulierungen des Satzes von Radon-Nikodým für größere Klassen von Maßräumen als die  endlichen Maßräume, die sogenannten zerlegbaren Maßräume.

Mithilfe des Begriffs der Kontiguität kann eine Version des Satzes in der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie bewiesen werden. Dort ist der Satz als Le Cams drittes Lemma bekannt.

LiteraturBearbeiten