Erwartungstreue

Erwartungstreue (oft auch Unverzerrtheit, englisch unbiasedness) bezeichnet in der mathematischen Statistik eine Eigenschaft einer Schätzfunktion (kurz: eines Schätzers). Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich dem wahren Wert des zu schätzenden Parameters ist. Ist eine Schätzfunktion nicht erwartungstreu, spricht man davon, dass der Schätzer verzerrt ist. Das Ausmaß der Abweichung seines Erwartungswerts vom wahren Wert nennt man Verzerrung oder Bias.[1][2] Die Verzerrung drückt den systematischen Fehler des Schätzers aus.[3]

Erwartungstreue zählt neben Konsistenz, Suffizienz und (asymptotischer) Effizienz zu den vier gebräuchlichen Kriterien zur Beurteilung der Qualität von Schätzern. Des Weiteren gehört sie gemeinsam mit der Suffizienz und der Invarianz/Äquivarianz zu den typischen Reduktionsprinzipien der mathematischen Statistik.

BedeutungBearbeiten

Die Erwartungstreue ist eine wichtige Eigenschaft eines Schätzers, da die Varianz der meisten Schätzer mit steigendem Stichprobenumfang gegen Null konvergiert. D.h. die Verteilung zieht sich um den Erwartungswert des Schätzers, und damit bei erwartungstreuen Schätzern um den gesuchten wahren Parameter der Grundgesamtheit, zusammen. Bei erwartungstreuen Schätzern können wir erwarten, dass die Differenz zwischen dem aus der Stichprobe berechneten Schätzwert und dem wahren Parameter umso kleiner ist, je größer der Stichprobenumfang ist.

Außer zur praktischen Beurteilung der Qualität von Schätzern ist der Begriff der Erwartungstreue auch für die mathematische Schätztheorie von großer Bedeutung. In der Klasse aller erwartungstreuen Schätzer gelingt es – unter geeigneten Voraussetzungen an das zugrundeliegende Verteilungsmodell –, Existenz und Eindeutigkeit bester Schätzer zu beweisen. Das sind erwartungstreue Schätzer, die unter allen möglichen erwartungstreuen Schätzern minimale Varianz haben.

Grundidee und einführende BeispieleBearbeiten

Um einen unbekannten reellen Parameter   einer Grundgesamtheit zu schätzen, berechnet man in der mathematischen Statistik aus einer zufälligen Stichprobe   mit Hilfe einer geeignet gewählten Funktion   eine Schätzung  . Allgemein lassen sich geeignete Schätzfunktionen mit Hilfe von Schätzmethoden, z. B. der Maximum-Likelihood-Methode, gewinnen.

Da die Stichprobenvariablen   Zufallsvariablen sind, ist auch der Schätzer   selbst eine Zufallsvariable. Er wird erwartungstreu genannt, wenn der Erwartungswert dieser Zufallsvariable stets gleich dem Parameter   ist, egal welchen Wert   in Wirklichkeit hat.

Beispiel StichprobenmittelBearbeiten

Zur Schätzung des Erwartungswertes   der Grundgesamtheit wird üblicherweise das Stichprobenmittel

 

verwendet. Werden alle Stichprobenvariablen   zufällig aus der Grundgesamtheit gezogen, so haben alle den Erwartungswert  . Damit berechnet sich der Erwartungswert des Stichprobenmittels zu

 .

Das Stichprobenmittel ist also ein erwartungstreuer Schätzer des unbekannten Verteilungsparameters  .

 
Verteilung des Schätzers   für verschiedene Stichprobenumfänge  .

Falls die Grundgesamtheit normalverteilt ist mit Erwartungswert   und Varianz  , dann lässt sich die Verteilung von   genau angeben. In diesem Fall gilt

 

das heißt, das Stichprobenmittel ist ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert   und Varianz  . Ist der Stichprobenumfang   groß, so gilt aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes diese Verteilungsaussage zumindest näherungsweise, auch wenn die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist. Die Varianz dieses Schätzers konvergiert also gegen 0, wenn der Stichprobenumfang   gegen unendlich geht. Die Grafik rechts zeigt, wie sich für verschiedene Stichprobenumfänge die Verteilung der Stichprobenmittel immer weiter auf einen festen Wert zusammenzieht. Aufgrund der Erwartungstreue ist sichergestellt, dass dieser Wert der gesuchte Parameter   ist.

Beispiel relative HäufigkeitBearbeiten

Um zu schätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit   ein bestimmtes Merkmal in der Grundgesamtheit auftritt, wird daraus eine Stichprobe von Umfang   zufällig ausgewählt und die absolute Häufigkeit   des Merkmals in der Stichprobe ausgezählt. Die Zufallsvariable   ist dann binomialverteilt mit den Parametern   und  , insbesondere gilt für ihren Erwartungswert  . Für die relative Häufigkeit

 

folgt dann   das heißt, sie ist ein erwartungstreuer Schätzer der unbekannten Wahrscheinlichkeit  .

DefinitionBearbeiten

In der modernen, maßtheoretisch begründeten mathematischen Statistik wird ein statistisches Experiment durch ein statistisches Modell   beschrieben. Dieses besteht aus einer Menge  , dem Stichprobenraum, zusammen mit einer σ-Algebra   und einer Familie   von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf  .

Es sei ein Punktschätzer

 

sowie eine Funktion

 

gegeben (im parametrischen Fall die sogenannte Parameterfunktion), die jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung   die zu schätzende Kennzahl   (Varianz, Median, Erwartungswert etc.) zuordnet.

Dann heißt der Schätzer   erwartungstreu, wenn

  ist. Hierbei bezeichnet   den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes  .

In Anwendungen ist   oft die Verteilung einer (reellen oder vektorwertigen) Zufallsvariable   auf einem Wahrscheinlichkeitsraum   mit einem unbekannten Parameter oder Parametervektor  . Ein Punktschätzer   für   in obigem Sinne ergibt dann eine Funktion   und diese heißt analog erwartungstreuer Schätzer, wenn gilt

 

wobei der Erwartungswert nun bezüglich   gebildet wird.

EigenschaftenBearbeiten

ExistenzBearbeiten

Erwartungstreue Schätzer müssen im Allgemeinen nicht existieren. Wesentlich hierfür ist die Wahl der Funktion  . So kann bei unpassender Wahl der zu schätzenden Funktion die Menge der erwartungstreuen Schätzer klein sein, unsinnige Eigenschaften aufweisen oder leer sein.

Im Binomial-Modell

 

sind beispielsweise nur Polynome in   von Grad kleinergleich n erwartungstreu schätzbar. Für zu schätzende Funktionen, die nicht von der Form

 

sind existiert also kein erwartungstreuer Schätzer.

Auch wenn ein erwartungstreuer Schätzer existiert, muss er kein praktisch sinnvoller Schätzer sein: Beispielsweise im Poisson-Modell

 

und bei Verwendung der zu schätzenden Funktion

 

ergibt sich als einziger erwartungstreuer Schätzer

 .

Dieser Schätzer ist augenscheinlich sinnlos. Zu beachten ist hier, dass die Wahl der zu schätzenden Funktion nicht exotisch ist: Sie schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal in Folge (bei unabhängiger Wiederholung) kein Ereignis eintritt[4].

StrukturBearbeiten

Gegeben sei ein fixes statistisches Modell. Sei   die Menge der erwartungstreuen Schätzer für die zu schätzende Funktion   und   die Menge aller Nullschätzer, also

 .

Wählt man nun ein   aus, so ist

 .

Die Menge aller erwartungstreuen Schätzer für   entstehen demnach aus einem erwartungstreuen Schätzer für   in Kombination mit den Nullschätzern.

Beziehung zu Verzerrung und MQFBearbeiten

Erwartungstreue Schätzer haben per Definition eine Verzerrung von Null:

 .

Damit reduziert sich der mittlere quadratische Fehler zur Varianz des Schätzers:

 .

OptimalitätBearbeiten

Erwartungstreue an sich ist bereits ein Qualitätskriterium, da erwartungstreue Schätzer immer eine Verzerrung von Null haben und somit im Mittel den zu schätzenden Wert liefern. Sie haben also keinen systematischen Fehler. In der Menge der erwartungstreuen Schätzer reduziert sich das zentrale Qualitätskriterium für Schätzer, der mittlere quadratische Fehler, zu Varianz der Schätzer. Demnach vergleichen die beiden gängigen Optimalitätskriterien die Varianzen von Punktschätzern.

  • Lokal minimale Schätzer vergleichen die Varianzen von Punktschätzern für ein vorgegebenes  . Ein Schätzer   heißt dann ein lokal minimaler Schätzer in  , wenn
 
für alle weiteren erwartungstreuen Schätzer   gilt.
  • Gleichmäßig bester erwartungstreue Schätzer verschärfen diese Forderung dahingehend, dass ein Schätzer   für alle   eine kleinere Varianz als jeder weitere erwartungstreue Schätzer haben soll. Es gilt dann also
 
und alle erwartungstreuen Schätzer  .

Erwartungstreue vs. mittlerer quadratischer FehlerBearbeiten

Erwartungstreue Schätzer sind auf zwei Arten als „gut“ anzusehen:

  • Einerseits ist ihre Verzerrung immer gleich null; sie haben demnach die wünschenswerte Eigenschaft, keinen systematischen Fehler aufzuweisen.
  • Andererseits ist aufgrund der Zerlegung des mittleren quadratischen Fehlers in Verzerrung und Varianz der mittlere quadratische Fehler eines erwartungstreuen Schätzers immer automatisch klein, da die Verzerrung wegfällt.

Allerdings können nicht immer beide Ziele (Erwartungstreue und minimaler quadratischer Fehler) gleichzeitig erfüllt werden. So ist im Binomialmodell   mit   ein gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer gegeben durch

 .

Der Schätzer

 

ist nicht erwartungstreu und folglich verzerrt, besitzt aber für Werte von   nahe an   einen geringeren mittleren quadratischen Fehler.[5]

Es können also nicht immer Verzerrung und mittlerer quadratischer Fehler gleichzeitig minimiert werden.

Schätzer mit VerzerrungBearbeiten

 
Diese Graphik zeigt eine Verletzung der Unverzerrtheits- und Konsistenzeigenschaft. Es wird im Mittel nicht der wahre Wert 3 geschätzt, sondern -2. Somit ergibt sich eine Verzerrung von 5:  

Es ergibt sich aus der Definition, dass „gute“ Schätzer zumindest näherungsweise erwartungstreu sein, sich also dadurch auszeichnen sollen, dass sie im Mittel nah am zu schätzenden Wert liegen. Üblicherweise ist Erwartungstreue jedoch nicht das einzige wichtige Kriterium für die Qualität eines Schätzers; so sollte er beispielsweise auch eine kleine Varianz haben, also möglichst gering um den zu schätzenden Wert schwanken. Zusammengefasst ergibt sich das klassische Kriterium einer minimalen mittleren quadratischen Abweichung für optimale Schätzer.

Die Verzerrung   eines Schätzers   ist definiert als Differenz zwischen seinem Erwartungswert und der zu schätzenden Größe:

 

Sein mittlerer quadratischer Fehler   ist

 

Der mittlere quadratische Fehler ist gleich der Summe des Quadrats der Verzerrung und der Varianz des Schätzers:

 

In der Praxis kann eine Verzerrung zwei Ursachen haben:

Zufällige Fehler können tolerabel sein, wenn sie dazu beitragen, dass der Schätzer eine kleinere minimale quadratische Abweichung als ein unverzerrter besitzt.

Asymptotische ErwartungstreueBearbeiten

In der Regel ist es nicht von Bedeutung, dass ein Schätzer erwartungstreu ist. Die meisten Resultate der mathematischen Statistik gelten erst asymptotisch, also wenn der Stichprobenumfang ins Unendliche wächst. Daher ist es in der Regel ausreichend, wenn Erwartungstreue im Grenzwert gilt, d. h. für eine Folge von Schätzern   die Konvergenzaussage   gilt.

Weiteres Beispiel: Stichprobenvarianz im NormalverteilungsmodellBearbeiten

Ein typisches Beispiel sind Schätzer für die Parameter von Normalverteilungen. Man betrachtet in diesem Fall die parametrische Familie

  mit   und  ,

wobei   die Normalverteilung mit Erwartungswert   und Varianz   ist. Üblicherweise sind Beobachtungen   gegeben, die stochastisch unabhängig sind und jeweils die Verteilung   besitzen.

Wie bereits gesehen, ist das Stichprobenmittel   ein erwartungstreuer Schätzer von  .

Für die Varianz   erhält man als Maximum-Likelihood-Schätzer  . Dieser Schätzer ist allerdings nicht erwartungstreu, da sich   zeigen lässt (siehe Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Erwartungstreue). Die Verzerrung beträgt also  . Da diese asymptotisch, also für  , verschwindet, ist der Schätzer allerdings asymptotisch erwartungstreu.

Darüber hinaus kann man in diesem Fall den Erwartungswert der Verzerrung genau angeben und folglich die Verzerrung korrigieren, indem man mit   multipliziert (sog. Bessel-Korrektur), und erhält so einen Schätzer für die Varianz, der auch für kleine Stichproben erwartungstreu ist.

Im Allgemeinen ist es jedoch nicht möglich, die erwartete Verzerrung exakt zu bestimmen und somit vollständig zu korrigieren. Es gibt aber Verfahren, um die Verzerrung eines asymptotisch erwartungstreuen Schätzers für endliche Stichproben zumindest zu verringern, zum Beispiel die sogenannte Jackknife-Methode.

Aufbauende BegriffeBearbeiten

Ein erwartungstreuer Schätzer   heißt ein regulärer erwartungstreuer Schätzer, wenn

 

gilt.   bezeichnet hier die Dichtefunktion zum Parameter  . Differentiation und Integration sollen also vertauschbar sein. Reguläre erwartungstreue Schätzer spielen eine wichtige Rolle in der Cramér-Rao-Ungleichung.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Erwartungstreue ist die L-Unverfälschtheit, sie verallgemeinert die Erwartungstreue mittels allgemeinerer Verlustfunktionen. Bei Verwendung des Gauß-Verlustes erhält man die Erwartungstreue als Spezialfall, bei Verwendung des Laplace-Verlustes die Median-Unverfälschtheit.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 110, 363
  2. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 3. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2003, S. 435.
  3. Kauermann, G. and Küchenhoff, H.: Stichproben: Methoden Und Praktische Umsetzung Mit R. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-12318-4, S. 21. Google Books
  4. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 126.
  5. Georgii: Stochastik. 2009, S. 209.