Verschiedene Voigt-Profile jeweils mit Halbwertsbreite 2. Spezialfälle sind die Lorentz-Kurve (blau) und die Gauß-Kurve (grün).

Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve mit einer Lorentz-Kurve .

Mathematische BeschreibungBearbeiten

 
 
 

  entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet.   ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische DarstellungBearbeiten

Für das Faltungsintegral   existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der Faddeeva-Funktion   (skalierte komplexe Fehlerfunktion, Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

 

  ist hier definiert als

 

Die Breite des Voigt-ProfilsBearbeiten

Die Halbwertsbreite des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt sind die Breiten des Gauß-Profils (fwhm: volle Breite bei halbem Maximum),

 

und des Lorentz-Profils,

 

Die Breite des Voigt-Profils   ist eine Funktion von   und  .

Die einfachste Näherung ist die symmetrische Interpolationsformel[1]

 

die jedoch   um bis zu 16 % unterschätzt.[2]

Eine bessere Näherung ist nach Olivero and Longbothum[3]

 

mit einer maximalen Abweichung von 0,023%.

EigenschaftenBearbeiten

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigt-Funktion mit einer weiteren Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigt-Funktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

 

und

 .

Näherung durch Pseudo-Voigt-ProfilBearbeiten

 
Beim Vergleich zwischen Voigt-Profil (blau) und Pseudo-Voigt-Profil (magenta) sind kaum Unterschiede erkennbar.

Das Pseudo-Voigt-Profil (oder die Pseudo-Voigt-Funktion) ist eine Näherungsfunktion für das Voigt-Profil, bei der die Faltung durch eine Linearkombination aus Gauß- und Lorentzkurve ersetzt. Es wird traditionell zur Ausgleichsrechnung von Röntgendiffraktometrie-Profilen verwendet. Seit eine effiziente und sehr genaue Implementierung der eigentlichen Voigt-Funktion zur Verfügung steht, gibt es keinen guten Grund mehr für die Verwendung dieser Näherung.

Mathematische Definition:

    mit    
 
 

Dabei ist   die Halbwertsbreite der Pseudo-Voigt-Funktion.

BeispieleBearbeiten

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung   ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt   bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle   wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall   entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall   oder gar   setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

LiteraturBearbeiten

  • Woldemar Voigt: Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums. Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 25, 1912, S. 603–620, (online).
  • Z. Shippony, W. G. Read, A Highly Accurate Voigt Function Algorithm. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 50, Nr. 6, 1993, ISSN 0022-4073, S. 635–645, doi:10.1016/0022-4073(93)90031-C; Erratum: A Correction to a Highly Accurate Voigt Function Algorithm. ebenda Bd. 78, Nr. 2, 2003, S. 255, doi:10.1016/S0022-4073(02)00169-3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Danos & Geshwind, Phys Rev91, 1159 (1953).
  2. Ablesbar aus Fig. 1 in Olivero & Longbothom (1977)
  3. J. J. Olivero, R. L. Longbothum: Empirical fits to the Voigt line width: A brief review. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 17, Nr. 2, 1977, S. 233–236, doi:10.1016/0022-4073(77)90161-3.

WeblinksBearbeiten

  • https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion voigt (x, sigma, gamma) mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.