Copula (Mathematik)

Eine Copula (Pl. Copulas oder Copulae) ist eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann.

Mit ihrer Hilfe kann man stochastische Abhängigkeit deutlich flexibler modellieren als beispielsweise mit Korrelationskoeffizienten.

DefinitionBearbeiten

Eine Copula ist eine multivariate Verteilungsfunktion  , deren eindimensionale Randverteilungen gleichverteilt über dem Intervall   sind. Formal ausgedrückt bedeutet dies folgendes:

  •   ist multivariate Verteilungsfunktion, das heißt
    •  ,
    •   ist  -steigend, das heißt für jedes Hyperrechteck   ist das  -Volumen nicht negativ:  , wobei  ,
  • Die eindimensionalen Randverteilungen von   sind uniform auf dem Einheitsintervall:  .

Die Forderung an die Randverteilungen lässt sich wie folgt motivieren: Für   beliebig verteilte Zufallsvariablen   mit stetigen Verteilungen   ist die Zufallsvariable   gleichverteilt über dem Intervall  . Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeiten unter diesen möglich.

Satz von SklarBearbeiten

Im Folgenden sei   eine Erweiterung der reellen Zahlen.

Sei   eine  -dimensionale Verteilungsfunktion mit eindimensionalen Randverteilungen  . Dann existiert eine  -dimensionale Copula  , sodass für alle   gilt:

 

Sind alle   stetig, so ist die Copula eindeutig.

Fréchet-Hoeffding-SchrankenBearbeiten

Für jede  -variate Copula   gilt die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke

  •  

und die obere Fréchet-Hoeffding Schranke

  •  

Die obere Schranke   ist selbst eine Copula, die untere Schranke   hingegen nur für  .

AnwendungBearbeiten

Copulae werden eingesetzt, um Rückschlüsse auf die Art der stochastischen Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt, um Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu können. Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich üblich. Dort stellen gehäuft auftretende Schäden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar. Beispiel hierfür ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden. Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der Finanzmathematik ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Risikoarten (Kredit- und Marktrisiko, Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc.).

Beispiele für CopulaeBearbeiten

  • Die einfachste Form der Copula ist die Unabhängigkeitscopula (Produktcopula)
 .
Sie steht für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen  , die gemäß der Copula C verteilt sind. In Zeichen:  
  • Die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke, ebenfalls eine Copula, ist gegeben durch
 .
Sie beschreibt perfekte positive stochastische Abhängigkeit (totale positive Korrelation).
  • Die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke ist nur im bivariaten Fall eine Copula:
 .
Sie beschreibt eine perfekte negative stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.
  • Die Normal- oder auch Gauß-Copula wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung   definiert. So ist
 
eine Copula, wobei   die bivariate Verteilungsfunktion zweier standard-normalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten   ist.
Erzeugt man Punkte, die gemäß der Normal-Copula mit Parameter   verteilt sind, ergibt sich bereits eine leichte Konzentration dieser entlang der Winkelhalbierenden.
 
Simulation der bivariaten Normal-Copula, rho = 0.5, 1500 Punkte
 ,
wobei   als Parameter fest zu wählen ist.
Erzeugt man Punkte, die gemäß der Gumbel-Copula mit Parameter   verteilt sind, ergibt sich insbesondere eine Punkthäufung in der Nähe des Punktes  .
 
Simulation der bivariaten Gumbel-Copula, lambda = 2, 1500 Punkte

Archimedische CopulaeBearbeiten

Archimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:

Sei   eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit  . Bezeichne   die Pseudo-Inverse von  , d. h.

 

Mit Hilfe von   und   lässt sich nun eine bivariate Funktion definieren:

 

Die Funktion   ist genau dann eine Copula, wenn   konvex ist. In diesem Fall heißt   Erzeuger oder Generator der Copula. Offensichtlich ist   symmetrisch, d. h.   für alle  .

Beispiele für archimedische Copulae sind:

  • Gumbel-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion   mit Parameter  .
Damit ergibt sich   und damit die Gumbel-Copula   wie oben.
  • Clayton-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion   mit Parameter  .
Damit ist   und die bivariate Clayton-Copula ergibt sich zu:
 
  • Frank-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion   mit Parameter  .

Archimedische Copulae werden oft angewandt, da es sehr einfach ist, Zufallszahlen daraus zu generieren.

ExtremwertcopulaBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eine Copula   heißt Extremwertcopula, wenn es die Copula einer multivariaten Extremwertverteilung ist, d. h. es existiert eine multivariate Extremwertverteilung   mit univariaten Rändern  , dass gilt  .

LemmaBearbeiten

Eine Copula   ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für   und   gilt  .

Ist   eine Extremwertcopula und sind   univariate Extremwertverteilungen, dann ist   eine multivariate Extremwertverteilung.

Zusammenhang zwischen Copula und T-NormBearbeiten

Jede bivariate assoziative und kommutative Copula ist eine T-Norm (siehe Grabisch et al. 2009). Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken gleichzeitig T-Normen.

LiteraturBearbeiten

  • Harry Joe: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1.
  • J.-F. Mai, M. Scherer: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9.
  • Roger B. Nelsen: An Introduction to Copulas. (= Lecture Notes in Statistics). Springer Verlag, 2006, ISBN 0-387-28659-4.
  • A. Sklar: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward. In: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. Taylor (Hrsg.): Distributions With Fixed Marginals & Related Topics. (= Lecture Notes - Monograph Series Number. 28). 1997, ISBN 0-940600-40-4.
  • Rico Fischer: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk. Logos Berlin, 2009, ISBN 978-3-8325-2142-4.

WeblinksBearbeiten

  • P. Embrechts, F. Lindskog, A. McNeil: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. In: S. Rachev (Hrsg.): Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. Elsevier, Chapter 8, 2003, S. 329–384. (people.math.ethz.ch; PDF; 818 kB)
  • P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann: Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. In: M. A. H. Dempster: (Hrsg.): Risk Management: Value at Risk and Beyond. Cambridge University Press, Cambridge 2002, S. 176–223. (people.math.ethz.ch; PDF; 784 kB)
  • C. Schölzel, P. Friederichs: Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach. In: Nonlinear Processes in Geophysics. 15, 2008, S. 761–772. (www.nonlin-processes-geophys.net open access)
  • Andreas Beck, Michael Lesko, Frank Schlottmann, Konrad Wimmer: Copulas im Risikomanagement. In: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen. 14/2006. (risknet.de)
  • Michael Lesko, Andreas Beck: Zur Modellierung von Abhängigkeiten in der Bankpraxis – Copula-Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils. In: Betriebswirtschaftliche Blätter. 5/2006. (risknet.de)