Hauptmenü öffnen

Ein Differenz-Operator ist in der Mathematik ein Operator, mit dem die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert wird. Dadurch lassen sich beispielsweise Eigenschaften wie die Monotonie einer reellen Funktion einer Variable auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. Ein anderes Anwendungsgebiet von Differenz-Operatoren ist die Stochastik und Maßtheorie, wo mit ihrer Hilfe abstrakte Volumenbegriffe definiert werden.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen

 

Dann ist der Differenzenoperator für   definiert als

 

und die Differenzenbildung in der  -ten Komponente als

 .

ErläuterungBearbeiten

Durch Austausch der einzelnen Komponenten wird von den beiden Vektoren ein Quader im   mit   Ecken erzeugt. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden dann noch in Abhängigkeit von Ursprungsvektor der Komponenten mit einem Vorzeichen versehen und dann addiert, beispielsweise für  :

 .

Die Differenzbildung in der  -ten Komponente ist zwar konstant im  -ten Eintrag, wird aber meist immer noch als Funktion auf   aufgefasst, um das weitere Anwenden von Differenzoperatoren zu ermöglichen.

EigenschaftenBearbeiten

Der Differenzen-Operator ist linear, das heißt, es gilt

 

Des Weiteren ist

 

Außerdem gilt für  

 

Die Differenzbildung der Komponenten ist also vertauschbar.

VerwendungBearbeiten

Mittels des Differenzoperators lässt sich beispielsweise die Monotonie einer Funktion verallgemeinern: Eine Funktion   heißt dann rechtecksmonoton, wenn

 

gilt. Dabei ist   komponentenweise zu verstehen, also   für alle Indizes. Darauf aufbauend lassen sich solche Funktionen dann weiter untersuchen.

Außerdem werden Differenzoperatoren in der Maßtheorie und der Stochastik zur Definition von Maßen auf dem   mittels multivariater Verteilungsfunktionen verwendet.

LiteraturBearbeiten