Entscheidungsfunktion

Begriff aus der mathematischen Statistik

Eine Entscheidungsfunktion ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik, dem Teilbereich der Statistik, der sich der Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie bedient. Man unterscheidet zwischen nichtrandomisierten Entscheidungsfunktionen, bei denen jeder Beobachtung eine eindeutige Entscheidung zugeordnet wird, und randomisierten Entscheidungsfunktionen, bei denen die Wahl der Entscheidung noch vom Zufall abhängig ist. Entscheidungsfunktionen werden im Rahmen von statistischen Entscheidungsproblemen verwendet. Diese umfassen sowohl Testprobleme als auch Schätzprobleme und die Bestimmung von Konfidenzintervallen mittels Bereichsschätzern.

Eng verbunden mit der Entscheidungsfunktion ist die Verlustfunktion, die nach Treffen einer Entscheidung den Verlust bezüglich der getroffenen Entscheidung angibt, wenn der reale, aber unbekannte Wert von dieser Entscheidung abweicht. Entscheidungsfunktion und Verlustfunktion werden dann zur Risikofunktion kombiniert, die den potentiellen Verlust bei Verwendung einer gegebenen Entscheidungsfunktion angibt.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   und ein Entscheidungsraum  .

Nichtrandomisierte EntscheidungsfunktionBearbeiten

Dann wird im Rahmen der mathematischen Statistik eine Funktion  , die  - -messbar ist, eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion genannt. Die Menge aller nichtrandomisierten Entscheidungsfunktionen wird mit   bezeichnet.

Randomisierte EntscheidungsfunktionBearbeiten

Eine randomisierte Entscheidungsfunktion ist dann ein Markow-Kern   von   nach  , das heißt für   gilt:

  • Für jedes   ist   ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  .
  • Für jedes   ist   eine  -messbare Funktion.

  ist dann die Wahrscheinlichkeit, bei der Beobachtung von   eine Entscheidung aus der Menge   zu treffen. Die Menge aller randomisierten Entscheidungsfunktionen wird mit   bezeichnet.

Darstellung von nichtrandomisierten EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Jede nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion   lässt sich auf natürliche Weise als randomisierte Entscheidungsfunktion darstellen. Dazu definiert man den Markow-Kern als

 .

Bezeichnet man mit   das Diracmaß, so lässt sich der Markow-Kern noch kompakter schreiben als

 .

Damit lässt sich   surjektiv in   einbetten. Jede nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion ist somit nur ein Spezialfall einer randomisierten Entscheidungsfunktion.

BeispielBearbeiten

Zu jeder der drei Klassen von statistischen Entscheidungsproblemen lassen entsprechende Entscheidungsfunktionen angeben. So sind klassische Entscheidungsfunktionen die Punktschätzer beispielsweise zur Bestimmung eines unbekannten Parameters, die Intervallschätzer zur Bestimmung eines Konfidenzintervalls und die statistischen Tests.

PunktschätzerBearbeiten

Betrachtet man beispielsweise das Produktmodell  , welches einen 100-maligen Münzwurf modelliert, und wählt als Grundmenge für den Entscheidungsraum den Parameterraum   und als σ-Algebra die entsprechende Borelsche σ-Algebra  , so ist das Stichprobenmittel

 

eine Entscheidungsfunktion, die jedem Ausgang des Experiments, der aus einer 100-stelligen Folge von Nullen und Einsen besteht, die Entscheidung für einen geschätzten Parameter   der Bernoulli-Verteilung zuordnet. Es handelt sich hierbei um eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion.

Reduktion auf stark suffiziente σ-AlgebrenBearbeiten

Jede Entscheidungsfunktion lässt sich im folgenden Sinne reduzieren: ist   eine stark suffiziente σ-Algebra (was für borelsche Räume   mit einer suffizienten σ-Algebra im herkömmlichen Sinne übereinstimmt), so kann die Entscheidungsfunktion   von   nach   durch eine Entscheidungsfunktion   von   nach   ersetzt werden, so dass für die Risikofunktion

 

gilt. Die stark suffiziente σ-Algebra enthält also bereits alle für die Risikoabschätzung nötigen Informationen.

Optimale EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Es existieren unterschiedliche Optimalitätskriterien für Entscheidungsfunktionen, die teils auf der Ordnungstheorie, teils auch auf der Spieltheorie aufbauen.

Zulässige EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Mittels der Risikofunktion   lässt sich eine Ordnungsrelation zwischen den Entscheidungsfunktionen definieren durch

 .

Gilt   und  , so nennt man   und   äquivalent und schreibt  .

Ist nun   eine Teilmenge der Entscheidungsfunktionen, so heißt eine Entscheidungsfunktion   zulässig bezüglich  , wenn für jede weitere Entscheidungsfunktion   mit   gilt, dass   ist.

Die zulässigen Entscheidungsfunktionen sind somit die minimalen Elemente der Menge   bezüglich der Ordnungsrelation  .

Minimax-EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Eine Entscheidungsfunktion   heißt eine Minimax-Entscheidungsfunktion bezüglich der Menge  , wenn

 

gilt. Die Minimax-Entscheidungsfunktionen entsprechen einer Minimax-Strategie für einen Spieler mit Strategiemenge   gegen einen Spieler mit Strategiemenge   in einem Zwei-Personen-Nullsummenspiel mit der Risikofunktion als Auszahlungsfunktion.

Bayes-EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Ist   das Bayes-Risiko der Entscheidungsfunktion   bezüglich der a-priori-Verteilung  , so heißt eine Entscheidungsfunktion   eine Bayes-Entscheidungsfunktion bezüglich der a-priori-Verteilung  , wenn

 

für alle   gilt.

Beziehungen zwischen den OptimalitätskriterienBearbeiten

Folgerungen aus zulässigen Entscheidungsfunktionen
  • Ist die Entscheidungsfunktion zulässig und ein Egalisator, so ist sie eine Minimax-Entscheidungsfunktion.
Folgerungen aus Minimax-Entscheidungsfunktionen
  • Ist   Minimax-Entscheidungsfunktion und ist   eine ungünstigste a-priori-Verteilung, so ist   eine Bayes-Entscheidungsfunktion bezüglich   und   ist ein Sattelpunkt des Bayes-Risikos.
  • Ist die Minimax-Entscheidungsfunktion eindeutig, so ist sie auch zulässig.
Folgerungen aus Bayes-Entscheidungsfunktionen
  • Ist die Bayes-Entscheidungsfunktion   bezüglich   eindeutig, so ist sie zulässig.
  • Ist die Bayes-Entscheidungsfunktion ein Egalisator, so ist sie auch eine Minimax-Entscheidungsfunktion.

LiteraturBearbeiten