Diracmaß

spezielles Maß in der Maßtheorie

Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein spezielles Maß in der Maßtheorie.

DefinitionBearbeiten

Es sei ein messbarer Raum   gegeben, also eine Grundmenge   zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra  . Zu jedem Punkt   wird eine zugehörige Abbildung   definiert, die jeder Menge   den Wert   zuordnet, wenn sie   enthält, und den Wert  , wenn sie   nicht enthält:

 

Die Abbildung   ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt   genannt. Wegen   ist   sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und   ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß   ist die Einheitsmasse im Punkt   konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion   kann man die definierende Gleichung auch durch

 

für alle   und   ausdrücken.

Dirac-IntegralBearbeiten

Das Dirac-Integral der Funktion   ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

 

BegründungBearbeiten

Die Abbildung   sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist folgendermaßen definiert.

 

  ist eine beliebige Folge von einfachen Funktionen, die punktweise und monoton wachsend gegen   konvergieren. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte   annimmt.   sei die Anzahl der Funktionswerte  ;   seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion   jeweils den Wert   annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

 

Ist  , dann ist   erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen  . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen   gleich Null. Folglich ist das Integral über   insgesamt gleich Null.

Ist   für irgendein  , so ist das Dirac-Maß von   gleich  ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen   ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen   ergibt sich somit:

 
 

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle  , wenn   ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle   und   gilt

 

Als einelementige Teilmenge von   ist  . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist   und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls  , so ist auch eine Integration über   und   möglich.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten