Diracmaß

spezielles Maß in der Maßtheorie

Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein-elementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable, und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Funktion.

DefinitionBearbeiten

Es sei ein messbarer Raum   gegeben, also eine Grundmenge   zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra  . Zu jedem Punkt   wird eine zugehörige Abbildung   definiert, die jeder Menge   den Wert   zuordnet, wenn sie   enthält, und den Wert  , wenn sie   nicht enthält:

 

Die Abbildung   ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt   genannt. Wegen   ist   sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und   ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß   ist die Einheitsmasse im Punkt   konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion   kann man die definierende Gleichung auch durch

 

für alle   und   ausdrücken.

Dirac-IntegralBearbeiten

Das Dirac-Integral der Funktion   ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

 

BegründungBearbeiten

Die Abbildung   sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch

 

definiert, wobei   eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen   konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte   annimmt.   sei die Anzahl der Funktionswerte  ;   seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion   jeweils den Wert   annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

 

Ist  , dann ist   erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen  . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen   gleich Null. Folglich ist das Integral über   insgesamt gleich Null.

Ist   für irgendein  , so ist das Dirac-Maß von   gleich  ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen   ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen   ergibt sich somit:

 
 

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle  , wenn   ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle   und   gilt

 

Als einelementige Teilmenge von   ist  . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist   und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls  , so ist auch eine Integration über   und   möglich.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten