Reguläres Maß

Ein reguläres Maß ist in der Maßtheorie ein spezielles Maß auf einem topologischen Raum, für das gewisse Approximationseigenschaften gelten. Man unterscheidet zwischen der Regularität von innen und der Regularität von außen eines Maßes. Ist ein Maß regulär von innen und von außen, so wird es regulär genannt.

Die Regularität von Maßen wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, insbesondere im Kontext von Borel-Maßen. Daher ist ein genauer Abgleich mit der Definition im jeweiligen Kontext unerlässlich.

DefinitionBearbeiten

Seien   ein Hausdorff-Raum und   eine σ-Algebra auf  , die die Borelsche σ-Algebra enthält.

Dann liegen alle offenen und alle abgeschlossenen Teilmengen von   in  .

Da   Hausdorff ist, liegen auch alle kompakten Teilmengen von   in  .

Ein Maß   heißt

  • von innen regulär, falls für jedes   gilt:
 
  • von außen regulär, falls für jedes   gilt:
 
  • regulär, wenn es von innen und von außen regulär ist.[1]

Eine Menge  , die eine der drei angegebenen Eigenschaften erfüllt, wird entsprechend als von innen reguläre, von außen reguläre oder reguläre Menge bezeichnet. Mitunter fordert man die innere Regularität nur für offene Mengen (in diesem Sinne ist dann das Haar-Maß regulär) oder fordert, dass es sich bei dem Maß um ein Borel-Maß handelt.

Weitere BedeutungenBearbeiten

Teils werden Maße auf einem metrischen Raum mit Borelscher σ-Algebra   als abgeschlossen regulär bezeichnet, wenn für jede Menge   und jedes   eine offene Menge   und eine abgeschlossene Menge   existieren mit   und   [2]. Andere Autoren nennen diese Maße aber lediglich regulär[3].

Im englischen findet sich auch die Bezeichnung „tightness“ für die Regularität von Innen[4] . Die „tight measures“ entsprechen aber nicht den von innen regulären Maßen oder den straffen Maßen, sondern den Radon-Maßen (im Sinne eines von innen regulären, lokal endlichen Maßes auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes)[5].

Eigenschaften und BeispieleBearbeiten

Reguläre Maße erlauben in vielen Beweisen Approximationsargumente. Oft genügt es, gewisse Aussagen für kompakte oder offene Mengen zu zeigen, und diese dann durch die beiden Formeln auf messbare Mengen zu erweitern. Viele Maße sind regulär.

  • Das Lebesgue-Maß auf dem   ist regulär.
  • Allgemeiner gilt: Ist   ein lokalkompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis und ist   ein Borel-Maß auf  , so ist   regulär.[6]

Reguläre Borel-MaßeBearbeiten

Abhängig davon, wie man ein Borel-Maß definiert, existieren verschiedene Konzepte der Regularität von Borel-Maßen[7].

  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein lokal endliches Maß auf der Borelschen σ-Algebra eines Hausdorff-Raumes, so nennt man dieses Borel-Maß ein reguläres Borel-Maß, wenn es von innen und von außen regulär ist, also Regulär im obigen Sinne.
  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein Maß auf der Borelschen σ-Algebra   eines topologischen Raumes, so nennt man dieses Maß   ein reguläres Borel-Maß, wenn
 
für jedes   gilt.
  • Versteht man unter einem Borel-Maß ein äußeres Maß, bezüglich dessen alle Borelmengen Carathéodory-messbar sind, so heißt das Borel-Maß ein reguläres Borel-Maß, wenn zu jeder beliebigen Teilmenge   der Obermenge eine Borel-Menge   existiert, so dass   ist[8].

VerallgemeinerungenBearbeiten

Regularität lässt sich auch für signierte Maße und komplexe Maße definieren, man spricht dann von regulären signierten Maßen oder regulären komplexen Maßen. Die Regularität ist dann äquivalent zur Regularität der Variation oder der Real/Imaginäranteile.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 313.
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 379.
  3. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 193, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  4. R.A. Minlos: Radon Mesure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  5. Tight measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  6. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, Kapitel VIII. Korollar 1.12
  7. V.V. Sazonov: Borel measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
  8. Eric W. Weisstein: Regular Borel Measure. In: MathWorld (englisch).

LiteraturBearbeiten