Äußeres Maß

Äußeres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, der 1914 von Constantin Carathéodory eingeführt wurde. Äußere Maße spielen eine wichtige Rolle bei der Erweiterung von Prämaßen zu Maßen mittels des Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Äußere Maße sind im Allgemeinen aber keine Maße.

DefinitionBearbeiten

Ein äußeres Maß   ist eine Mengenfunktion von der Potenzmenge einer Menge   in das Intervall  , welche folgende Axiome erfüllt:

  •  
  •      „Monotonie
  •      „ -Subadditivität

Der Name äußeres Maß lehnt sich an die Begriffe inneres und äußeres Maß an, die von Borel und Lebesgue benutzt wurden. Die Theorie von Carathéodory benutzt kein inneres Maß und vereinfacht die grundlegenden Beweise beträchtlich.

Metrisches äußeres MaßBearbeiten

Ein metrisches äußeres Maß ist ein äußeres Maß auf einem metrischen Raum   mit der zusätzlichen Eigenschaft:

  •  

für alle nichtleeren separierten Mengen   und  , d. h.  . Bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes   wird beispielsweise ein metrisches äußeres Maß   verwendet.

KonstruktionBearbeiten

Äußere MaßeBearbeiten

Sei   beliebiges Mengensystem mit   und   eine Mengenfunktion mit  . Setzt man für alle  :

 

Dann ist   ein äußeres Maß auf  . Ist    -subadditiv, so gilt   für alle  . Somit lässt sich insbesondere mittels eines Inhalts oder eines Prämaßes auf einem Halbring oder Ring ein äußeres Maß konstruieren. Manchmal wird daher die obige Konstruktion nur für diese Spezialfälle definiert.

Wählt man als Prämaß das Lebesguesche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesguesche Maß, wählt man als Prämaß das Lebesgue-Stieltjessche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß.

Metrische äußere MaßeBearbeiten

Sei   beliebiges Mengensystem auf dem metrischen Raum   mit   und   eine Mengenfunktion mit  . Definiert man

 

so ist

 

ein metrisches äußeres Maß. Dabei ist   der Durchmesser der Menge  .

Auf diese Weise wird zum Beispiel das äußere Hausdorff-Maß definiert, aber auch das äußere Lebesguesche Maß kann so gewonnen werden. Dazu setzt man   und   und als Mengensystem den Halbring der halboffenen Intervalle.

Messbarkeit nach CarathéodoryBearbeiten

Sei   ein äußeres Maß auf der Potenzmenge einer Menge  . Eine Menge   heißt messbar bezüglich   oder kurz  -messbar, falls

 .

Dieser Begriff der Messbarkeit stammt von Constantin Carathéodory. Äquivalent ist die Definition, dass eine Menge   genau dann  -messbar ist, wenn

  für alle   gilt.

Die beiden Charakterisierungen sind äquivalent, da das Gleichheitszeichen aus der σ-Subadditivität des äußeren Maßes folgt.

BeispieleBearbeiten

  •   sind  -messbar.
  • Komplemente  -messbarer Mengen sind messbar: Sei    -messbar. Dann ist auch    -messbar.
  • Nullmengen bezüglich des äußeren Maßes sind messbar: Sei   mit  . Dann ist    -messbar. Genauso ist    -messbar, falls   gilt.

Abgrenzung zu anderen MessbarkeitsbegriffenBearbeiten

Meist wird mit der Messbarkeit einer Menge gemeint, dass sich diese Menge in einer bestimmten σ-Algebra befindet. Dieser Messbarkeitsbegriff ist hauptsächlich davon abhängig, in welchem Messraum man sich befindet. Daher spricht man auch teilweise von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Im Gegensatz dazu ist der hier verwendete Messbarkeitsbegriff unabhängig von einem Mengensystem. Er hängt nur von dem äußeren Maß ab, das auf der gesamten Potenzmenge definiert ist. Dementsprechend nennt man die Messbarkeit nach Carathéodory auch Messbarkeit bezüglich eines äußeren Maßes.

σ-Algebra der ν-messbaren MengenBearbeiten

Ist   ein äußeres Maß, so ist die Menge

 

eine σ-Algebra und   ein vollständiges Maß.

Es lässt sich auch zeigen, dass   genau dann die Borelsche σ-Algebra   enthält, wenn   ein metrisches äußeres Maß auf dem metrischen Raum   ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten