Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer -dimensionalen Fläche im -dimensionalen Raum (mit ) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) -dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des .)

Das bekannteste dieser Maße ist das -dimensionale Hausdorff-Maß , benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das -dimensionale sphärische Maß erläutert werden.

Definition des sphärischen MaßesBearbeiten

Zu einer Teilmenge   des   betrachtet man die Größen

 

für  , wobei das Infimum über alle Überdeckungen   von   durch abzählbar viele  -dimensionale Kugeln  … im   mit Durchmessern (Diametern)   gebildet wird. Hierbei ist   das Volumen der  -dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im  , gleichbedeutend mit dem  -dimensionalen Flächeninhalt des  -dimensionalen Einheitskreises im  . Der Formfaktor   sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden   sind gerade die  -dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln   mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden  -dimensionalen Ebenen im  .

Das  -dimensionale sphärische Maß von   wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

 

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der  -dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche  .

Definition des Hausdorff-MaßesBearbeiten

Zur Definition des Hausdorff-Maßes   gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des   bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von   ist definiert durch

 

für   und  , und man setzt entsprechend für  

 

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen   von   durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen  … des   mit  . Schließlich definiert man

 

das metrische äußere Maß  , das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß  .

Die Ausdrücke   und   sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang   gegen 0 – jedoch liefern die beiden Maße   und   bei den rektifizierbaren (den „anständigen“)  -dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

 

Zusammenhang mit der FlächenformelBearbeiten

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche   mit einem Gebiet   und einer injektiven differenzierbaren Funktion   findet die Flächenformel Anwendung:

 

Dabei ist   die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von  , und   bezeichnet das  -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

  1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“   die obigen Definitionen von   und   mit  , wobei   die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge   des   ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl   mit   für alle   und   für alle  . Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen   und   bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
    In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des   mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
  2. Die Definition des  -dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des  ; das Gleiche gilt für das  -dimensionale sphärische Maß. (Es wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Diameters durch die zugrundeliegende Metrik   ersetzt, genauer: aus   wird  )

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).