Inhalt (Maßtheorie)

spezielle Mengenfunktion der Maßtheorie

Ein Inhalt ist in der Maßtheorie eine spezielle Mengenfunktion, die für gewisse Mengensysteme definiert wird und dazu dient, den intuitiven Volumenbegriff zu abstrahieren und zu verallgemeinern.

DefinitionBearbeiten

 
Endliche Additivität für ein Inhalt  : Der Inhalt einer endlich disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe über die Inhalte der einzelnen Teilmengen.

Auf beliebigen MengensystemenBearbeiten

Gegeben sei ein Mengensystem  , das die leere Menge enthält. Dann heißt eine Mengenfunktion

 

ein Inhalt, wenn gilt:[1]

  1. Die leere Menge hat den Wert null:  .
  2. Die Funktion ist endlich additiv. Sind also   endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus   und   dann gilt
     .

Bei dem Mengensystem handelt es sich meist um einen Mengenhalbring.[2][3]

BemerkungBearbeiten

Zu beachten ist, dass in der Definition nicht gefordert wird, dass endliche Vereinigungen von disjunkten Mengen wieder im Mengensystem liegen. Es wird lediglich gefordert, dass falls die disjunkte Vereinigung wieder im Mengensystem liegt, die endliche Additivität gilt. So liegen beispielsweise endliche Vereinigungen disjunkter Mengen in Halbringen im Allgemeinen nicht wieder im Halbring. Beispiel hierfür ist der Halbring auf  , der aus den halboffenen Intervallen der Form   besteht.

Ebenso folgt im Allgemeinen aus der Additivität, also aus der Eigenschaft

 

für disjunkte Mengen   mit   nicht die endliche Additivität. Dies beruht darauf, dass aus   in allgemeinen Mengensystemen nicht   folgt für disjunktes  . Der (rückwärts)induktive Schluss von der Additivität zur endlichen Additivität gilt somit nur in vereinigungsstabilen Mengensysteme.

Auf vereinigungsstabilen MengensystemenBearbeiten

Aufgrund der obigen Überlegungen erhält man in vereinigungsstabilen Mengensystemen folgende vereinfachte Definition: Ist   ein vereinigungsstabiles Mengensystem, dass die leere Mengen enthält, so heißt eine Mengenfunktion

 

ein Inhalt, wenn gilt:

  1. Die leere Menge hat den Wert null:  .
  2. Die Funktion ist additiv, das heißt für je zwei disjunkte Mengen   gilt
     .

Dabei handelt es sich bei den vereinigungsstabilen Mengensystem meist um einen Mengenring.

BeispieleBearbeiten

Der wichtigste Inhalt ist der sogenannte Lebesgue'sche Inhalt

 .

auf dem Halbring der halboffenen Intervalle   auf den reellen Zahlen. Aus ihm wird durch Erweiterung und diverse Fortsetzungssätze schließlich das Lebesgue-Integral konstruiert. Tatsächlich ist dieser Inhalt bereits ein Prämaß.

Ein weiterer wichtiger Inhalt ist der Stieltjes’sche Inhalt, aus dem sich das Lebesgue-Stieltjes-Maß und das Lebesgue-Stieltjes-Integral ableitet:

 ,

wobei   eine monoton wachsende reellwertige Funktion ist. Durch ihn lassen sich alle endlichen Inhalte auf den reellen Zahlen beschreiben.

Ein weiterer Inhalt ist das Jordan-Maß. Entgegen dem Namen handelt es sich nicht um ein Maß im Sinne der Maßtheorie.

EigenschaftenBearbeiten

Je nachdem, auf welchem Mengensystem Inhalte definiert werden, treffen gewisse Eigenschaften zu.

Im HalbringBearbeiten

Falls   ein Halbring ist, dann gilt:

  • Jeder Inhalt   ist monoton, es gilt folglich:
  für  .
  • Jeder Inhalt   ist subadditiv, es gilt also:
  für   aus   mit  .

Im RingBearbeiten

Wählt man als Mengensystem einen Ring, gelten (da jeder Ring ein Halbring ist) zusätzlich zu den Eigenschaften im Halbring die folgenden Aussagen:

  • Subtraktivität: für   mit   gilt  .
  •  .
  • Subadditivität:  .
  •  -Superadditivität: Seien   paarweise disjunkt mit  . Dann folgt aus der Additivität und Monotonie  .
  • Falls   endlich ist, also für alle   gilt, dann gilt die Siebformel von Poincaré und Sylvester:
 
mit   für  .

Abgeleitete BegriffeBearbeiten

Ein Inhalt heißt endlich, wenn   für alle   gilt. Ein Inhalt heißt σ-endlich, wenn es eine Zerlegung   von   in   gibt, so dass   für alle   gilt.

Fortsetzung von InhaltenBearbeiten

Man kann zu jedem Inhalt   auf dem Halbring   einen Inhalt   auf dem von   erzeugten Ring   konstruieren. Aufgrund der Eigenschaften eines Halbringes gibt es für alle   paarweise disjunkte Mengen   mit  . Indem man   durch

 

definiert, erhält man eine eindeutig bestimmte Fortsetzung  . Die Fortsetzung   ist genau dann  -endlich, wenn    -endlich ist.

Verwandte KonzepteBearbeiten

WahrscheinlichkeitsinhaltBearbeiten

Ein Inhalt   wird ein Wahrscheinlichkeitsinhalt genannt, wenn die Grundmenge   im Mengensystem   enthalten ist und   gilt[4].

Signierter InhaltBearbeiten

Ein signierter Inhalt ist eine Mengenfunktion   auf einem Mengensystem  , das abgeschlossen bezüglich endlichen Vereinigungen ist und die leere Menge enthält, für die gilt

  1.  
  2. Die Bildmenge der Mengenfunktion ist   oder  .
  3. Es gilt endliche Additivität, also   für disjunkte  [5].

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 44.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 12.
  3. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 27.
  4. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 194.
  5. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.