Das Jordan-Maß ist ein mathematischer Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man gewissen beschränkten Teilmengen des einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

DefinitionBearbeiten

 
Eine Menge   (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus   angenähert.

Es bezeichne für  

 

das halboffene  -dimensionale Hyperrechteck und

 

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können alternativ auch halboffene Intervalle der Form   verwendet werden. Weiter sei

 

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter   den Inhalt, der für alle   mit   für alle   durch

 

und   definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

 

ihr äußerer Inhalt sei

 

Eine Menge   heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn   beschränkt ist und  .

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge   ist durch   gegeben.

Gilt   für ein beschränktes  , so ist   Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

EigenschaftenBearbeiten

  1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und nicht  -additiv, das heißt abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendig Jordan-messbar sein (siehe auch Beispiel 2). Daher ist das Jordan-Maß kein Maß im Sinne der Maßtheorie.
  2. Ist   Jordan-messbar, so ist   auch Lebesgue-messbar, und es gilt  . Dabei bezeichnet   das Lebesgue-Maß von  .
  3. Eine Menge   ist genau dann Jordan-messbar, wenn   beschränkt ist und der Rand von   eine Jordan-Nullmenge ist.
  4. Eine beschränkte Menge   ist genau dann Jordan-messbar, wenn   ist. Dann gilt auch  .
  5. Eine kompakte Menge   ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn   eine Jordan-Nullmenge ist.

BeispieleBearbeiten

  1. Der Einheitskreis im   ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
  2. Die Menge   ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge   gilt   und für jede Menge   gilt   woraus   folgt. Für jedes   gilt  . Aufgrund der  -Additivität des Lebesgue-Maßes gilt  .   ist also Lebesgue-Nullmenge.   lässt sich als abzählbare Vereinigung der rationalen Zahlen   in   darstellen, wobei jede der Mengen   Jordan-messbar ist. Da   nicht Jordan-messbar ist, folgt, dass die Jordan-messbaren Mengen keine σ-Algebra bilden. Damit zeigt das Beispiel, dass das Jordan-Maß (auf den Jordan-messbaren-Mengen) kein Maß ist.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten