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Abzählbare Menge

Menge mit gleicher Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen
(Weitergeleitet von Abzählbarkeit)

In der Mengenlehre wird eine Menge als abzählbar unendlich bezeichnet, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen . Dies bedeutet, dass es eine Bijektion zwischen und der Menge der natürlichen Zahlen gibt, die Elemente der Menge also „durchnummeriert“ werden können.

Zu den höchstens abzählbaren Mengen zählen neben den abzählbar unendlichen Mengen auch die endlichen Mengen. Die Verwendung des Begriffes abzählbar ist nicht einheitlich. Er kann je nach Definition sowohl abzählbar unendlich als auch höchstens abzählbar bedeuten.

Eine nichtleere Menge, die weder endlich noch abzählbar unendlich ist, wird als überabzählbar bezeichnet.

Die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge wird – als Kardinalzahl – mit (gesprochen: alef null) bezeichnet, etwa gilt . Zu dieser Bezeichnung siehe auch Aleph-Funktion.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele abzählbar unendlicher MengenBearbeiten

Natürliche ZahlenBearbeiten

Die Menge der natürlichen Zahlen   ist per Definition abzählbar unendlich, da sie dieselbe Mächtigkeit wie sie selbst besitzt.

PrimzahlenBearbeiten

Die Menge der Primzahlen   ist ebenfalls abzählbar unendlich, da sie eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und nach dem Satz von Euklid auch unendlich ist.

  1 2 3 4 5 6 7 8
  2 3 5 7 11 13 17 19

Ganze ZahlenBearbeiten

Die Menge der ganzen Zahlen   ist abzählbar unendlich, eine Abzählung ist beispielsweise gegeben durch

  1 2 3 4 5 6 7 8
  0 1 −1 2 −2 3 −3 4

Die Beispiele Primzahlen und ganze Zahlen zeigen, dass sowohl echte Teilmengen als auch Obermengen dieselbe Mächtigkeit besitzen können wie die Grundmenge, im Gegensatz zu endlichen Mengen.

Paare natürlicher ZahlenBearbeiten

Auch die Menge aller Paare   von zwei natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Die Unendlichkeit ist wiederum offensichtlich. Schwieriger ist die Frage der Abzählbarkeit. Dafür nutzt man die Cantorsche Paarungsfunktion, die jedem Zahlenpaar   bijektiv eine natürliche Zahl   zuordnet. Damit kann man alle Zahlenpaare eindeutig nummerieren und somit abzählen.

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  1,1 1,2 2,1 1,3 2,2 3,1 1,4 2,3 3,2 4,1

n-Tupel natürlicher ZahlenBearbeiten

Die Menge aller  -Tupel   natürlicher Zahlen   ist ebenfalls abzählbar unendlich. Das zeigt man wiederum durch  -malige Anwendung der Cantorschen Paarungsfunktion.

Rationale ZahlenBearbeiten

Georg Cantor zeigte mit dem so genannten ersten Diagonalargument, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist, ebenso jede Menge der Gestalt   (Tupel ganzer Zahlen).

Die Abbildung  ,   ist surjektiv, also ist die Mächtigkeit von   höchstens so groß wie die von  . Da es einerseits unendlich viele Brüche gibt und andererseits die Menge   abzählbar unendlich ist, ist auch   abzählbar unendlich.

Algebraische ZahlenBearbeiten

Eine algebraische Zahl ist Nullstelle eines Polynoms   mit ganzzahligen Koeffizienten. Die Höhe von   sei definiert als  .

Zu jeder vorgegebenen Höhe   gibt es nur endlich viele Polynome, welche wiederum nur endlich viele Nullstellen besitzen; für jedes dieser k hat mit   das Polynom   die Nullstelle   . Wird   als die Menge aller dieser Nullstellen gesetzt, dann ist die Menge   der algebraischen Zahlen die Vereinigung  .

Als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen ist   daher abzählbar. Da   andererseits   enthält, ist   abzählbar unendlich.

Wörter über einem AlphabetBearbeiten

Durch die Anwendung der sogenannten Standardnummerierung über das Alphabet   kann man auch die Wörter einer Sprache im Sinne der Mathematik abzählen.

Berechenbare ZahlenfunktionenBearbeiten

Die Menge aller berechenbaren Zahlenfunktionen ist abzählbar unendlich. Man kann eine Standardnummerierung aller denkbaren Bandprogramme angeben. Da die Menge der Bandprogramme größer als die Menge der berechenbaren Funktionen ist (es könnte ja zwei unterschiedliche Programme geben, die dieselbe Funktion berechnen), sind damit die Zahlenfunktionen abzählbar unendlich.

Beispiel einer überabzählbaren unendlichen MengeBearbeiten

Die Menge der reellen Zahlen ist dagegen überabzählbar. Das bedeutet, dass es keine bijektive Abbildung gibt, die jede reelle Zahl auf je eine natürliche Zahl abbildet, siehe Cantors zweites Diagonalargument.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede Teilmenge einer (höchstens) abzählbaren Menge ist (höchstens) abzählbar.
  • Die Vereinigung zweier (höchstens) abzählbarer Mengen ist (höchstens) abzählbar.
  • Allgemeiner ist jede Vereinigung einer abzählbaren Anzahl von (höchstens) abzählbaren Mengen wieder (höchstens) abzählbar.
  • Das kartesische Produkt zweier (höchstens) abzählbaren Mengen ist (höchstens) abzählbar.
  • Gibt es eine Surjektion von der Menge   der natürlichen Zahlen auf die Menge  , so ist   höchstens abzählbar.
  • Jede aufzählbare Menge ist höchstens abzählbar.

Siehe auchBearbeiten