Signiertes Maß

Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie

Signiertes Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es ist wie das Maß eine auf einem Mengensystem, meist einer σ-Algebra, definierte Funktion und unterscheidet sich von diesem nur darin, dass auch negative Werte zugelassen sind. Das signierte Maß stellt somit eine Verallgemeinerung des Maßbegriffs dar. Manchmal werden signierte Maße auch als Ladungsverteilungen bezeichnet, da sie bildlich jedem Teil eines geladenen Körpers die in ihm enthaltene Ladung zuweisen.

Mengen signierter Maße besitzen im Gegensatz zu den gewöhnlichen Maßen mehr Struktur. So bildet beispielsweise die Menge aller signierten Maße auf einem gemeinsamen Messraum einen Vektorraum mit einer Norm.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine nichtleere Menge und   ein Mengensystem auf   mit  .

Eine Mengenfunktion   von   nach   oder   heißt signiertes Maß, wenn gilt:

  1.  
  2. Für jede disjunkte Familie   mit   und   gilt
 .
Diese Eigenschaft wird als σ-Additivität bezeichnet.

Ist das Mengensystem   eine σ-Algebra, so wird es im Folgenden mit   bezeichnet. Insbesondere ist dann   immer in   enthalten.

Bemerkungen zur DefinitionBearbeiten

Die Konvergenz der Reihe   ist als unbedingte Konvergenz in   zu betrachten, das heißt ihr Grenzwert ist  .

Die Einschränkung auf entweder die Bildmenge   oder die Bildmenge   erfolgt, um die Assoziativität der Addition zu erhalten. Außerdem vermeidet sie das Auftreten von nicht definierten Ausdrücken wie  .

Wählt man als Bildraum die Menge  , so kann auf die Forderung   verzichtet werden. Dies folgt daraus, dass   eine reelle Zahl ist und

 

gilt.

BeispieleBearbeiten

Die beiden hier angegebenen Beispiele sind gleichzeitig die klassischen Methoden, signierte Maße zu konstruieren.

Differenz von MaßenBearbeiten

Sind   endliche Maße auf dem Messraum  , so sind

 

signierte Maße auf  . Bei einem der beiden Maße   kann auf die Endlichkeit verzichtet werden, wenn man zulassen will, dass die signierten Maße die Werte   oder   annehmen können.

Integralinduzierte signierte MaßeBearbeiten

Signierte Maße treten auch in der Integrationstheorie auf, sie werden von einem unbestimmten Integral induziert.

Sei   ein Maßraum und   eine   messbare Funktion. Ist   positiv (nimmt Werte in   an) oder quasiintegrierbar, so existiert das Integral   mit   als Indikatorfunktion und   immer. Die Abbildung   mit

 

definiert das unbestimmte  -Integral.

  • Ist   positiv, so ist   ein Maß.
  • Ist   integrierbar, so ist   ein endliches signiertes Maß, das heißt   für  .
  • Ist   quasiintegrierbar, so ist   ein signiertes Maß.

Man verwendet für   üblicherweise die Kurzschreibweise  .

EigenschaftenBearbeiten

Gegeben seien   und  . Ist  , so ist auch stets  , denn es gilt  . Aus der σ-Additivität folgt dann die Endlichkeit der rechten Seite.

Ist   mit disjunkten   und ist

 ,

so ist die Reihe   absolut konvergent. Denn es ist für jede Bijektion   immer

 

und somit

 .

Also konvergiert die Reihe unbedingt und damit auch absolut.

Stetigkeit von obenBearbeiten

Ist   ein Ring so ist   stetig von oben, es gilt folglich, dass für jede monoton fallende Folge   mit  ,   und  

 

gilt. Ist   eine σ-Algebra, so ist die Eigenschaft immer erfüllt.

Stetigkeit von untenBearbeiten

Ein signiertes Maß auf einer σ-Algebra   ist stetig von unten, das heißt für eine monoton wachsende Mengenfolge   aus   gilt

 .

Abgeleitete BegriffeBearbeiten

Positive und negative MengenBearbeiten

Eine Menge   wird eine positive Menge genannt, wenn für jede weitere Menge   mit   gilt, dass

 .

Ebenso wird eine Menge   eine negative Menge genannt, wenn für jede weitere Menge   mit   gilt, dass

 .

Der Begriff der Nullmenge überträgt sich direkt von Maßen auf signierte Maße.

Signierter MaßraumBearbeiten

Ist   eine σ-Algebra über der Grundmenge   und   ein signiertes Maß, so nennt man das Tripel   einen signierten Maßraum.

Endliches signiertes MaßBearbeiten

Ein signiertes Maß   heißt endlich, wenn   für alle  . Dies ist äquivalent zu   oder zur Endlichkeit der Variation von  .

σ-endliches signiertes MaßBearbeiten

Ein signiertes Maß heißt σ-endlich, wenn es eine Folge   von Mengen aus   gibt, so dass

 

und   für alle  . Dies ist äquivalent dazu, dass die Variation von   ein σ-endliches Maß ist.

Reguläres signiertes MaßBearbeiten

Ein endliches signiertes Maß auf einem Hausdorff-Raum, versehen mit der borelschen σ-Algebra heißt regulär, wenn die Variation des signierten Maßes ein reguläres Maß ist.

Wichtige AussagenBearbeiten

Hahn-Jordan-ZerlegungBearbeiten

Die Hahn-Jordan-Zerlegung liefert eine Aufteilung eines signierten Maßes. Dabei wird entweder die Grundmenge auf eindeutige Weise in eine positive Menge und eine negative Menge zerlegt (Hahnscher Zerlegungssatz), oder das signierte Maß in zwei (gewöhnliche) Maße aufgeteilt, von denen mindestens eines endlich ist und die zusammen das signierte Maß ergeben (Jordanscher Zerlegungssatz).

Zu jedem signierten Maß   existieren also eine positive Menge   und eine negative Menge  , so dass   und   ist.

Ebenso existieren Maße  , (die sogenannte positive Variation und die negative Variation), von denen mindestens eines endlich ist, die singulär zueinander sind und für die   gilt.

Es gilt dann

 .

Das Maß   nennt man dann die Variation von  , die Zahl   die Totalvariationsnorm des signierten Maßes.

Satz von Radon-NikodymBearbeiten

Ist   ein σ-endliches Maß auf dem Messraum   und ist   ein signiertes Maß, das absolut stetig bezüglich   ist ( ), so besitzt   eine Dichtefunktion bezüglich  , das heißt, es existiert eine messbare Funktion  , so dass

  für alle  .

Zerlegungssatz von LebesgueBearbeiten

Ist   ein σ-endliches Maß auf dem Messraum   und ist   ein σ-endliches signiertes Maß, so existiert genau eine Zerlegung  , wobei   signierte Maße sind, so dass   absolut stetig bezüglich   ist und   singulär bezüglich   ist.

Satz von Vitali-Hahn-SaksBearbeiten

Der Satz von Vitali-Hahn-Saks besagt, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein signiertes Maß definiert.

Räume signierter MaßBearbeiten

Im Gegensatz zu den Maßen bilden die signierten Maße auf einem gemeinsamen Messraum einen reellen Vektorraum, wenn sie endlich sind. Insbesondere ist jede reelle Linearkombination signierter Maße ebenfalls ein signiertes Maß. Die Maße bilden dann einen konvexen Kegel in diesem Vektorraum. Wichtige konvexe Teilmengen sind die Wahrscheinlichkeitsmaße und die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße.

Versieht man den Vektorraum der endlichen signierten Maße mit der Totalvariationsnorm als Norm, so erhält man einen normierten Raum. Dieser Raum ist sogar vollständig, es handelt sich also um einen Banachraum.

Dieser Raum kann noch mit einer Ordnungsstruktur versehen werden, diese wird definiert als

 .

Damit werden die endlichen signierten Maße zum Riesz-Raum und sogar zum Banach-Verband. Außerdem ist er ordnungsvollständig.

Reguläre signierte Maße treten beispielsweise auch in der Funktionalanalysis als Dualraum der im unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen, der sogenannten C0-Funktionen, auf.

AnwendungenBearbeiten

Mit signierten Maßen lassen sich zum Beispiel Verteilungen von positiven und negativen Ladungen in einem Stoff modellieren.

LiteraturBearbeiten