Träger (Maßtheorie)

Der Träger eines Maßes ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Ähnlich zum Träger einer Funktion in der Analysis garantiert die Kompaktheit des Trägers gewisse Eigenschaften wie beispielsweise die Integrierbarkeit stetiger Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum   und ein Radon-Maß   (im Sinne eines von innen regulären, lokal endlichen Maßes) auf  , der borelschen σ-Algebra.

Ist   die (möglicherweise überabzählbare) Familie der offenen  -Nullmengen, so ist

 

die bezüglich mengentheoretischer Inklusion größte offene  -Nullmenge. Ihr Komplement wird der Träger von   genannt, also

 .

Alternativ findet sich auch die Notation  .

BemerkungBearbeiten

Dass   wirklich eine Nullmenge ist, sieht man wie folgt ein: Ist   und kompakt, existiert per Definition der Kompaktheit eine endliche Überdeckung   von  . Also ist aufgrund der Monotonie des Maßes  . Da aber   von innen regulär ist, folgt  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist der Träger eines Radon-Maßes kompakt, so sind alle stetigen Funktionen  -integrierbar, also ist  
  • Umgekehrt ist auf einem σ-kompakten, lokalkompakten Hausdorff-Raum, bei dem   für ein Radon-Maß   gilt, der Träger dieses Radon-Maßes immer kompakt.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten