Risikofunktion

Risikofunktion ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik und wird dort im Rahmen von allgemeinen statistischen Entscheidungsproblemen verwendet. Die Risikofunktion gibt an, wie groß der zu erwartende „Schaden“ bei Verwendung einer gegebenen Entscheidungsfunktion ist. Risikofunktionen spielen eine Rolle bei der Bestimmung von optimalen Entscheidungsfunktionen, da sich durch Risikofunktionen eine Ordnungsrelation zwischen den Entscheidungsfunktionen definieren lässt. Dies macht es möglich, nach optimalen Elementen unter Teilmengen der Entscheidungsfunktionen zu suchen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Entscheidungsproblem  , also ein statistisches Modell  , ein Entscheidungsraum   und eine Verlustfunktion  . Des Weiteren sei   die Menge der randomisierten Entscheidungsfunktionen und  . Dann heißt die Funktion

 

definiert durch

 

eine Risikofunktion. Sie gibt an, wie groß der erwartete „Verlust“ bei Verwendung der Entscheidungsfunktion   ist, wenn der Parameter   vorliegt.

Betrachtet man die Risikofunktion als Funktion in   für fixiertes  , so schreibt man auch  . Man definiert dann die Menge dieser Risikofunktionen als   und nennt diese Menge die Risikomenge.

Risikofunktionen nichtrandomisierter EntscheidungsfunktionenBearbeiten

Ist   eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion und   die entsprechende Darstellung als randomisierte Entscheidungsfunktion, wobei   hier das Diracmaß bezeichnet, so ergibt sich als Risikofunktion

 ,

also der Erwartungswert des Verlusts.

BeispielBearbeiten

Verwendet man in der Schätztheorie den Gauß-Verlust

 

für die Bewertung von reellwertigen Punktschätzern, so erhält man als Risikofunktion den mittleren quadratischen Fehler

 .

Bei Einschränkung auf erwartungstreue Schätzer reduziert sich die Risikofunktion dann zur Varianz des Schätzers, also

 .

Analog erhält man bei Verwendung des Laplace-Verlustes den mittleren betraglichen Fehler als Risikofunktion.

BemerkungenBearbeiten

Spieltheoretische DeutungBearbeiten

Das Auffinden einer optimalen Entscheidungsfunktion kann als ein Spiel im spieltheoretischen Sinn betrachtet werden. Zuerst wählt die Natur einen Parameter   als reine Strategie aus der Strategiemenge  , der Statistiker antwortet dann mit der Wahl einer gemischten Strategie, die der Wahl einer Entscheidungsfunktion aus der Strategiemenge   entspricht. Die Risikofunktion ist dann die Auszahlungsfunktion dieses Zwei-Personen-Nullsummenspiels.

EgalisatorBearbeiten

Eine Entscheidungsfunktion  , für die die Risikofunktion in   konstant ist, also

 

für ein   gilt, heißt ein Egalisator[1] (englisch equalizer rule). Diese spielen eine Rolle bei den Beziehungen der unterschiedlichen Optimalitätskriterien für Entscheidungsfunktionen untereinander.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Risikofunktion ist das Bayes-Risiko. Hierbei betrachtet man nicht die Auswertung für einzelne  , sondern betrachtet Wahrscheinlichkeitsmaße auf  , die sogenannten A-priori-Verteilungen. Diese lassen sich als Vorinformation über die Verteilung des Parameters deuten. Aus der spieltheoretischen Perspektive ist das Bayes-Risiko die Auszahlungsfunktion der gemischten Erweiterung des oben beschriebenen Spiels.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. G. Bamberg: Statistische Entscheidungstheorie, S. 110