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Konfidenzintervalle zum Niveau 95 % für 100 Stichproben vom Umfang 30 aus einer normalverteilten Grundgesamtheit. Davon überdecken 94 Intervalle den exakten Erwartungswert μ = 5; die übrigen 6 tun das nicht.

Ein Konfidenzintervall, kurz KI, (auch Vertrauensintervall, Vertrauensbereich und Erwartungsbereich genannt) ist ein Intervall aus der Statistik, das die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (zum Beispiel eines Mittelwerts) angeben soll. Das Konfidenzintervall gibt den Bereich an, der bei unendlicher Wiederholung eines Zufallsexperiments mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau) die wahre Lage des Parameters einschließt.

Ein häufig verwendetes Konfidenzniveau ist 95 %, so dass in diesem Fall (mindestens) 95 % aller auf Grundlage von gemessenen Daten berechneten Konfidenzintervalle den wahren Wert des zu untersuchenden Systems beinhalten. Die häufig anzutreffende Formulierung, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit im Konfidenzintervall liegt, d. h., im vorliegenden berechneten Intervall, ist streng genommen nicht korrekt,[1][2] da der wahre Wert als gegeben (fix) und nicht stochastisch angenommen wird. Bei näherer Betrachtung sind die obere und untere Intervallgrenze des Konfidenzintervalls stochastisch, da diese Zufallsvariablen beinhalten. Folglich lautet die korrekte Formulierung: Bei der Berechnung eines Konfidenzintervalls umschließen dessen Intervallgrenzen in 95 % der Fälle den wahren Parameter und in 5 % der Fälle nicht. Das Konfidenzintervall ist so konstruiert, dass der wahre Parameter mit Wahrscheinlichkeit überdeckt wird, wenn das Schätzverfahren für viele Stichproben wiederholt wird.

Das Schätzen von Parametern mit Hilfe von Konfidenzintervallen wird Intervallschätzung genannt, die entsprechende Schätzfunktion ein Bereichs- oder Intervallschätzer. Ein Vorteil gegenüber Punktschätzern ist, dass man an einem Konfidenzintervall direkt die Signifikanz ablesen kann. Ein für ein vorgegebenes Konfidenzniveau breites Intervall weist auf einen geringen Stichprobenumfang oder eine starke Variabilität in der Grundgesamtheit hin.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Für ein fest vorgegebenes   ist ein  -Konfidenzintervall für   zum Konfidenzniveau   (auch: ein  -Konfidenzintervall) durch die beiden – auf einer Zufallsstichprobe basierenden – Statistiken   und   definiert, welche[3]

 

erfüllen. Die Statistiken   und   sind die Grenzen des Konfidenzintervalls, für die stets   angenommen wird. Das Konfidenzniveau   wird auch Überdeckungswahrscheinlichkeit genannt. Die Realisierungen   und   von   bzw.   bilden das Schätzintervall  . Die Grenzen des Konfidenzintervalls sind Funktionen der Zufallsstichprobe   und daher ebenfalls zufällig. Im Gegensatz dazu ist der unbekannte Parameter   fest. Wenn man das Zufallsexperiment auf identische Art und Weise wiederholt, dann wird ein  -Konfidenzintervall den unbekannten Parameter   in   aller Fälle überdecken. Da der unbekannte Parameter   keine Zufallsvariable ist, kann man allerdings nicht sagen, dass   in einem  -Konfidenzintervall mit Wahrscheinlichkeit   liegt. Solch eine Interpretation ist dem bayesschen Pendant von Konfidenzintervall, den sogenannten Glaubwürdigkeitsintervallen vorbehalten.[4]

Formelle DefinitionBearbeiten

RahmenbedingungenBearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell   sowie eine zu schätzende Funktion

 ,

die im parametrischen Fall auch Parameterfunktion genannt wird. Die Menge   enthält die Werte, die Ergebnis einer Schätzung sein können. Meist ist  

KonfidenzbereichBearbeiten

Eine Abbildung

 

heißt ein Konfidenzbereich, Vertrauensbereich,[5] Bereichsschätzfunktion[6] oder ein Bereichsschätzer,[5] wenn sie die folgende Bedingung erfüllt:

  • Für alle   ist die Menge   in   enthalten. (M)

Ein Konfidenzbereich ist also eine Abbildung, die jeder Beobachtung   eine vorerst beliebige Teilmenge von   zuordnet (  ist hier die Potenzmenge der Menge  , also die Menge aller Teilmengen von  )

Die Bedingung (M) stellt sicher, dass allen Mengen   eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden kann. Dies wird zur Definition des Konfidenzniveaus benötigt.

KonfidenzintervallBearbeiten

Ist   und ist   für jedes   immer ein Intervall, so heißt   auch ein Konfidenzintervall.[5]

Werden Konfidenzintervalle in der Form

 ,

definiert, so nennt man   auch die obere Konfidenzschranke und   die untere Konfidenzschranke.[7]

Konfidenzniveau und IrrtumsniveauBearbeiten

Gegeben sei ein Konfidenzbereich  . Dann heißt   ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau[6] oder Sicherheitsniveau[5]  , wenn

 .

Der Wert   wird dann auch das Irrtumsniveau[5] genannt. Eine allgemeinere Formulierung ist mit Formhypothesen möglich (siehe Formhypothesen#Konfidenzbereiche zu Formhypothesen).

Für die oben genannten Spezialfälle bei Konfidenzbereichen mit oberer und unterer Konfidenzschranke ergibt sich somit

 

bzw.

 

und

 

Beschreibung des VerfahrensBearbeiten

Man interessiert sich für den unbekannten Parameter   einer Grundgesamtheit. Dieser wird durch eine Schätzfunktion aus einer Stichprobe vom Umfang   geschätzt. Es wird davon ausgegangen, dass die Stichprobe eine einfache Zufallsstichprobe ist, in etwa die Grundgesamtheit widerspiegelt und dass deshalb die Schätzung in der Nähe des wahren Parameters liegen müsste. Die Schätzfunktion ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilung, die den Parameter   enthält.

Man kann zunächst mit Hilfe der Verteilung ein Intervall angeben, das den unbekannten wahren Parameter   mit einer Wahrscheinlichkeit   überdeckt. Ermitteln wir z. B. das 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Erwartungswert   einer Grundgesamtheit, dann bedeutet dies, dass wir ein Konfidenzintervall ermitteln, das bei durchschnittlich 95 von 100 gleich großen Zufallsstichproben den Erwartungswert enthält.

BeispielBearbeiten

Das Verfahren kann anhand eines normalverteilten Merkmals mit dem unbekannten Erwartungswert   und der bekannten Varianz   demonstriert werden: Es soll der Erwartungswert   dieser Normalverteilung geschätzt werden. Verwendet wird die erwartungstreue Schätzfunktion: der Stichprobenmittelwert  .

 
Zentrales Schwankungsintervall von  

Der Erwartungswert der Grundgesamtheit wird anhand unserer Stichprobe geschätzt

Schätzfunktion:  
Punktschätzung:  

wobei die Zufallsvariable     für die i-te Beobachtung (vor der Ziehung der Stichprobe) steht. Der Stichprobenmittelwert folgt einer Normalverteilung mit Erwartungswert   und Varianz  

 .

Die Grenzen des zentralen Schwankungsintervalls

 ,

das   mit der Wahrscheinlichkeit   überdeckt, bestimmen sich aus der Beziehung

 .

Man standardisiert zur Standardnormalverteilung   und erhält für die standardisierte Zufallsvariable

 

die Wahrscheinlichkeit

 ,

wobei   das  -Quantil der Standardnormalverteilung ist. Löst man nach dem unbekannten Parameter   auf, so ergibt sich aus

 

das  -Konfidenzintervall für  

 
Mögliche Lage des unbekannten Parameter   im Schätzintervall um das beobachtete  .
 

Das Schätzintervall, die Realisierung eines Konfidenzintervalles anhand einer konkreten Stichprobe, ergibt sich dann als

 

Die Grenzen des Schätzintervalles hängen jedoch von   ab und ändern sich damit von Stichprobe zu Stichprobe. Ist die Stichprobe aber extrem ausgefallen, überdeckt das Intervall den Parameter nicht. Dies ist in 100α % aller Stichproben der Fall, d. h., das durch   bestimmte Intervall überdeckt den wahren Parameter   also mit einer Wahrscheinlichkeit von  .

Von besonderem Interesse ist die Breite des Konfidenzintervalls. Diese bestimmt sich durch die Standardabweichung der Schätzfunktion und das gewählte Konfidenzniveau. Durch Erhöhung des Stichprobenumfangs kann die Breite verringert werden. Erwünscht ist in der Regel ein möglichst schmales Konfidenzintervall, denn dies weist bei konstantem Konfidenzniveau auf eine genaue Schätzung hin.

Als absoluter Fehler   wird die halbe Breite des Konfidenzintervalls bezeichnet. Im obigen Fall gilt also

 

Der absolute Fehler ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung (Breite des Konfidenzintervalls:  ).

Der absolute Fehler ist von Bedeutung, wenn bei einem gegebenen Konfidenzintervall und einer gegebenen Konfidenzintervalllänge der benötigte Stichprobenumfang   ermittelt werden soll. Die Frage lautet also: Welchen Stichprobenumfang benötigt man, um einen Parameter (z. B. arithmetisches Mittel) mit vorgegebener Genauigkeit und vorgegebenem Sicherheitsgrad zu schätzen?

Ausgewählte SchätzintervalleBearbeiten

Übersicht für stetige VerteilungenBearbeiten

Eine Übersicht über alle Fälle bei normalverteilten Merkmalen findet sich im Artikel Normalverteilungsmodell.

Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit bekannter Varianz  :

  ist das  -Quantil der Standardnormalverteilung.

 
Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals mit unbekannter Varianz:
Die Varianz der Grundgesamtheit wird durch die korrigierte Stichprobenvarianz
 

geschätzt.

  ist das  -Quantil der t-Verteilung mit   Freiheitsgraden.

Für   kann das Quantil der t-Verteilung näherungsweise durch das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung ersetzt werden.

 
Erwartungswert eines unbekannt verteilten Merkmals mit unbekannter Varianz:
Falls   genügend groß ist, kann aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes das Konfidenzintervall bestimmt werden.
 
Standardabweichung eines normalverteilten Merkmals:

  ist das p-Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit   Freiheitsgraden.

 

Diskrete VerteilungenBearbeiten

Konfidenzintervalle für den Parameter p der Binomialverteilung sind beschrieben in dem

Das sogenannte Clopper-Pearson-Konfidenzintervall kann mit Hilfe der Beta- oder F-Verteilung bestimmt werden. Dieses Konfidenzintervall wird auch exakt genannt, da das geforderte Konfidenzniveau tatsächlich eingehalten wird. Bei Näherungsmethoden, die (meistens) auf der Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung basieren, wird das Konfidenzniveau oft nicht eingehalten.

Ist die Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit bekannt, kann für den Parameter (mit Hilfe eines Korrekturfaktors) auch ein Konfidenzintervall für ein Urnenmodell ohne Zurücklegen angegeben werden.[8]

Konfidenzintervalle und HypothesentestsBearbeiten

Die Begriffe Konfidenzbereich und statistischer Test sind dual zueinander, unter allgemeinen Bedingungen können aus einem Konfidenzbereich für einen Parameter statistische Tests für entsprechende Punkthypothesen gewonnen werden und umgekehrt:

Testet man von einem Parameter   die Nullhypothese:  , dann wird die Nullhypothese bei einem Signifikanzniveau   nicht abgelehnt, wenn das entsprechende  -Konfidenzintervall, berechnet mit den gleichen Daten, den Wert   enthält. Daher ersetzen Konfidenzintervalle gelegentlich auch Hypothesentests.

Beispielsweise testet man in der Regressionsanalyse, ob im multiplen linearen Regressionsmodell mit der geschätzten Regressionshyperebene

 

die wahren Regressionskoeffizienten   gleich Null sind (siehe Globaler F-Test). Wenn die Hypothese nicht abgelehnt wird, sind die entsprechenden Regressoren   vermutlich für die Erklärung der abhängigen Variablen   unerheblich. Eine entsprechende Information liefert das Konfidenzintervall für einen Regressionskoeffizienten: Überdeckt das Konfidenzintervall die Null  , so ist bei einem Signifikanzniveau   der Regressionskoeffizient statistisch nicht verschieden von  .

Die Begriffe der Unverfälschtheit und des gleichmäßig besten Tests lassen sich hierüber auf Konfidenzbereiche übertragen.

Beispiele für ein KonfidenzintervallBearbeiten

Beispiel 1

Ein Unternehmen möchte ein neues Spülmittel einführen. Um die Käuferakzeptanz auszuloten, wird das Spülmittel in einem Test-Supermarkt platziert. Mit dieser Aktion soll der durchschnittliche tägliche Absatz in einem Supermarkt dieser Größe geschätzt werden. Man definiert nun den täglichen Absatz als Zufallsvariable   [Stück] mit den unbekannten Parametern Erwartungswert   und Varianz  . Man geht auf Grund langjähriger Beobachtungen hier davon aus, dass   annähernd normalverteilt ist. Die Marktforschungsabteilung hat ein Konfidenzniveau von 0,95 (95 %) als ausreichend erachtet. Dann wird 16 Tage lang der tägliche Absatz erfasst. Es ergibt sich

Tag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Absatz   110 112 106 90 96 118 108 114 107 90 85 84 113 105 90 104

Bei normalverteilter Grundgesamtheit mit unbekannter Varianz wird das Konfidenzintervall für den Erwartungswert angegeben als

 

Es ist das Mittel der Stichprobe

 

und die Varianz der Stichprobe

 

Es ist das  -Quantil der t-Verteilung mit 15 Freiheitsgraden

 

Der Wert für t ist nicht trivial zu errechnen und muss daher aus einer Tabelle abgelesen werden.

Das 95 %-Konfidenzintervall berechnet sich dann als

 

Im Mittel enthalten 95 % der so geschätzten Intervalle den wahren Mittelwert  , also den durchschnittlichen Tagesabsatz an Spülmittelflaschen in vergleichbaren Supermärkten. Für dieses konkrete Intervall trifft die Aussage, dass es mit 95 % Wahrscheinlichkeit den wahren Mittelwert enthält, jedoch nicht zu. Man weiß lediglich, dass dieses Intervall aus einer Menge (von Intervallen) stammt, von denen 95 % den wahren Mittelwert enthalten.

Beispiel 2

Ein Unternehmen lieferte ein Los (eine Charge) von 6000 Stück (z. B. Schrauben) an den Kunden. Dieser führt mittels Stichprobennahme gemäß der internationalen Norm ISO 2859-1[9] eine Eingangsprüfung durch. Dabei werden z. B. 200 Schrauben (je nach gewähltem AQL) zufällig über das gesamte Los gezogen und auf Übereinstimmung mit den vereinbarten Anforderungen (Qualitätsmerkmalen) geprüft. Von den 200 geprüften Schrauben erfüllen 10 Stück die gestellten Anforderungen nicht. Mittels der Berechnung des Konfidenzintervalls (Excel-Funktion BETAINV) kann der Kunde abschätzen, wie groß der zu erwartende Anteil fehlerhafter Schrauben im ganzen Los ist: bei einem Konfidenzniveau von 95 % berechnet man das Clopper-Pearson-Konfidenzintervall [2,4 %, 9 %] für den Anteil fehlerhafter Schrauben im Los (Parameter: n=200, k=10).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 8. Auflage. Vieweg, 2005.
  • Joachim Hartung: Statistik. 14. Auflage. Oldenbourg, 2005.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Significance Test Controversy (englisch)
  2. What is the Real Result in the Target Population? In: Statistics in Brief: Confidence Intervals. PMC 2947664 (freier Volltext) (englisch)
  3. Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer Heidelberg New York Dordrecht London (2014). ISBN 978-3-642-37886-7, S. 56.
  4. Leonhard Held und Daniel Sabanés Bové: Applied Statistical Inference: Likelihood and Bayes. Springer Heidelberg New York Dordrecht London (2014). ISBN 978-3-642-37886-7, S. 57.
  5. a b c d e Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 229, doi:10.1515/9783110215274.
  6. a b Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 230–231, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  7. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 245, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  8. Siehe zum Beispiel Kap. IV, Abschnitte 3.1.1 und 3.2 bei Hartung. Hier werden die Wilson- und Clopper-Pearson-Intervalle, sowie der Korrekturfaktor für die hypergeometrische Verteilung besprochen.
  9. Annahmestichprobenprüfung anhand der Anzahl fehlerhaften Einheiten oder Fehler [Attributprüfung] - Teil 1: Nach der annehmbaren Qualitätsgrenzlage AQL geordnete Stichprobenpläne für die Prüfung einer Serie von Losen