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Hölder-Mittel

verallgemeinerter Mittelwert

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. A. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt wird auch , oder geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters

DefinitionBearbeiten

Für eine reelle Zahl   wird das Hölder-Mittel der Zahlen   zur Stufe   definiert als

 ,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen   verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für   ist

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich  , das heißt
 
  • Außerdem gilt
 
  • Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
 
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
 
  • Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten   um Null recht einfach in Beziehung:
 

SpezialfälleBearbeiten

 
Grafische Darstellung verschiedener Mittelwerte zweier Werte a, b

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters   ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

      Minimum
      Harmonisches Mittel
      Geometrisches Mittel
      Arithmetisches Mittel
      Quadratisches Mittel
      Kubisches Mittel
      Maximum

Weitere VerallgemeinerungenBearbeiten

Gewichtetes Hölder-MittelBearbeiten

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten   mit   definieren als

 

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel   verwendet wird.

f-MittelBearbeiten

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

 

bzw. gewichtet zu

 

Dabei ist   eine Funktion von  ; das Hölder-Mittel verwendet  .

Weitere Beispiele:

  • Sind   die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren   bis  , so erhält man die mittlere Rendite als  -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion  .
  • Sind   die Alter von   Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als  -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion  ; dabei bedeutet   die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit   ersetzt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
  • P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265

WeblinksBearbeiten