Wachstumsfaktor (Mathematik)

Quotient zweier benachbarter Glieder einer geometrischen Folge

Der Wachstumsfaktor ist der konstante Quotient aus zwei aufeinander folgenden Gliedern einer geometrischen Folge. Die Bezeichnung wird vor allem verwendet, wenn die Folge einen realen exponentiellen Wachstumsprozess beschreibt. Handelt es sich um die Verzinsung von Kapital oder Schulden, so spricht man auch vom Zinsfaktor. Bei einem Wachstumsfaktor von ist umgangssprachlich von „Wachstum“ die Rede. In der Finanzmathematik spricht man dann vom Aufzinsungs- oder Askontierungsfaktor. Ein Wachstum um bedeutet einen Wachstumsfaktor von , also ein Wachstum auf das Doppelte; ein Wachstum um bedeutet einen Wachstumsfaktor von , also ein Wachstum auf das Dreifache usw. Bei einem Wachstumsfaktor von liegt hingegen „negatives Wachstum“ vor. In der Finanzmathematik spricht man dann vom Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor. Bei geometrischen Folgen mit negativem ist der Begriff „Wachstumsfaktor“ nicht gebräuchlich.

Berechnung

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Der Wachstumsfaktor   lässt sich aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern   und   einer geometrischen Folge mit folgender Gleichung berechnen:[1]

 

Beispiel: Der Wachstumsfaktor der Folge  ,  ,  ,  , … berechnet sich beispielsweise mit den Gliedern   und   durch  .

Zur Berechnung aus zwei beliebigen Gliedern   und   mit dem Abstand   kann folgende Gleichung verwendet werden:

 

Sind   und   hingegen Glieder einer fehlerbehafteten Folge mit exponentiellem Wachstum, so wird mit dieser Gleichung das geometrische Mittel des Wachstumsfaktors zwischen den Gliedern   bis   bestimmt.

Beispiele: Der Wachstumsfaktor der Folge  ,  ,  ,  , … berechnet sich beispielsweise mit den Gliedern   und   durch  . Der mittlere Wachstumsfaktor der fehlerbehafteten Folge  ,  ,  ,   berechnet sich mit den Gliedern   und   durch  .

Ist die Wachstumsrate   bekannt, so lässt sich der Wachstumsfaktor berechnen mit:

 

Mit derselben Gleichung lässt sich der Wachstumsfaktor auch aus dem prozentualen Wachstum berechnen, wenn man deren Wert zuvor durch 100 dividiert.

Beispiel: Der Wachstumsfaktor einer geometrischen Folge mit einer Wachstumsrate von   bzw. einem Wachstum von   berechnet sich durch   bzw.  .

Negatives Wachstum

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Für   zwischen 0 und 1 liegt ein „negatives Wachstum“ vor, also eine Abnahme, weil   dann negativ ist. Finanzmathematisch ist   dann der dann üblicherweise mit   bezeichnete Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor zum Zinsfuß

 .

Beispiel: Bei einem „negativen Wachstum“ von   ist   und der Zinsfuß  . Zu diesem Zinsfuß   gehören dann der Askontierungsfaktor   und der Diskontierungsfaktor  .

Einzelnachweise

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  1. I.N. Bronštejn, K.A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, ISBN 978-3-8171-2006-2.