Wachstumsrate

relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum

Als Wachstumsrate bezeichnet man die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum (einer Periode) oder auch, bei Betrachtung mehrerer Perioden, die mittlere relative Zunahme einer Größe pro Zeitspanne.

Oft wird hierbei ein Exponentielles Wachstum angenommen. Statt mit der Wachstumsrate wird dann meist mit dem Wachstumsfaktor gerechnet. Eine Wachstumsrate von 23 % (also ) entspricht dem Wachstumsfaktor .

DefinitionBearbeiten

Die diskrete Wachstumsrate   ist die Änderung einer von der Zeit   abhängigen Größe   zwischen zwei Zeitpunkten   und   relativ zu ihrem Ausgangswert  :

 .

Verkürzt man die Periode immer mehr hin zu ihrem Anfangszeitpunkt, bildet man also den Grenzwert, dann erhält man die stetige Wachstumsrate   zu diesem Zeitpunkt. Sie ist die momentane Änderung der Größe   zu einem konkreten Zeitpunkt   relativ zu ihrem Wert   zu diesem Zeitpunkt.

 

Die mittlere diskrete Wachstumsrate über mehrere Zeitspannen wird durch die allgemeine Gleichung

 

ausgedrückt, wobei   die Anzahl der Zeitspannen zwischen   und   und   die betrachtete Größe zum jeweiligen Zeitpunkt   darstellt. Hierbei handelt es sich um die Wachstumsrate aus dem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren der einzelnen Perioden.

Jährliche Wachstumsrate (Compound Annual Growth Rate)Bearbeiten

Eine spezielle Wachstumsrate ist die jährliche Wachstumsrate (engl. Compound Annual Growth Rate, abgekürzt CAGR), eine wesentliche Kennziffer zur Betrachtung von Investitionen, Marktentwicklungen, Umsätzen etc. in der Betriebswirtschaft und in der Volkswirtschaft. Die CAGR stellt das durchschnittliche jährliche Wachstum einer zu betrachtenden Größe dar.

Zur Berechnung wird der aktuelle Wert durch den Ausgangswert geteilt. Von dem Ergebnis wird die  -te Wurzel gezogen, wobei   die Anzahl der Jahre ist, die betrachtet werden. Die Compound Annual Growth Rate stellt also den mittleren Prozentsatz dar, um den der Anfangswert einer Zeitreihe auf hypothetische Folgewerte für die Berichtsjahre wächst, bis der tatsächliche Endwert am Ende der Berichtsperiode erreicht ist. Tatsächliche Ausschläge der Folgejahre in der Zwischenzeit wirken sich dabei nicht aus, die Wachstumsrate ist konstant.

Die Formel für die CAGR ist dieselbe wie die der Wachstumsrate, wobei bei CAGR die Größe   als Anzahl von Jahren ausgedrückt wird.

Beispiel: Eine Firma erzielt im Jahr 2004 einen Umsatz von 1 Million €. Im Jahr 2006 beträgt der Umsatz 1,21 Millionen €. Die Anzahl der Zeiteinheiten   beträgt 2006–2004 = 2.

 

Die jährliche Wachstumsrate beträgt 10 %. Wenn man daher den Ausgangswert zweimal mit dem entsprechenden Wachstumsfaktor 1,1 multipliziert, erhält man den Endwert:

 

Spezifische Wachstumsrate in der BiotechnologieBearbeiten

Bei exponentiellem Wachstum ist die Geschwindigkeit der Veränderung der Zellmasse ( ) zu jedem Zeitpunkt proportional zur Zellmasse  . Die Proportionalitätskonstante wird als spezifische Wachstumsrate   bezeichnet:[1]

 

Andere zur Beschreibung von Fermentationsprozessen benutzte Kenngrößen sind die spezifische Produktbildungsrate und der spezifische Substratverbrauch.

Beziehung zur Wachstumskonstanten λBearbeiten

Wird zur mathematischen Beschreibung des Exponentiellen Wachstums einer zeitabhängigen Größe   eine Funktion der Form

 

mit einer explizit aufgeführten Zinsperiode (z. B.  ) verwendet, so kann die Periodendauer   in die Wachstumskonstante   umgerechnet werden:

 

Da die Wachstumsrate   und der Wachstumsfaktor   dimensionslose Zahlen sind, hat die Wachstumskonstante   die Dimension einer Frequenz. Die Zahl   im Exponenten kann ebenfalls als Rate bezeichnet werden, da sie bei kleinen Wachstumsraten unterhalb von 10 % annähernd gleich   ist:

 

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hans-Dieter Jakubke, Ruth Karcher (Koordinatoren): Lexikon der Chemie in drei Bänden, Spektrum Verlag, Band 3, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0381-2, S. 257.