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In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form

Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form , bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.

Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.

Von besonderer Bedeutung sind reguläre Kettenbrüche. Bei dieser Form haben alle Zähler den Wert . Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als .

Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung.[1]

Joseph-Louis Lagrange gilt zusammen mit Leonhard Euler als der Begründer der Kettenbruchtheorie.

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

 
Regulärer Kettenbruch[2]
 
Lamberts Kettenbruch für  
 
Lamberts Kettenbruch für den Tangens[3]

Kettenbrüche werden seit dem 16. Jahrhundert dazu verwendet, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden. Das bekannteste Beispiel ist die Näherung   für  .

 
Deliciae physico-mathematicae, 1636

Rafael Bombelli verwendete Kettenbrüche bereits 1579, um damit Quadratwurzeln zu berechnen. Im Jahr 1613 veröffentlichte Pietro Cataldi ein Buch, in dem unter anderem auch Kettenbrüche auftauchen. 1636 finden sich Kettenbrüche im Buch „Deliciae Physico-Mathematicae“ von Daniel Schwenter und ab 1655 in mehreren Büchern von John Wallis. Aus dem Bedürfnis, Brüche mit großen Nennern sowie natürliche Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert mit Kettenbrüchen. Er berechnete damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens ermittelte für die Umlaufzeit um die Sonne das Verhältnis zwischen Saturn und Erde als

 

Der reguläre Kettenbruch hierfür beginnt mit  . Approximiert man dieses Verhältnis mit dem Näherungsbruch, der entsteht, wenn man nur die ersten vier Einträge verwendet, dann beträgt der Fehler[4] nur  , da

 

In Leonhard Eulers Korrespondenz[5] treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für Kettenbrüche um ihrer selbst willen. Er entdeckte nämlich die folgenden drei wichtigen Eigenschaften:

  1. Jede rationale Zahl kann durch einen endlichen regulären Kettenbruch dargestellt werden (der mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden kann).
  2. Periodische reguläre Kettenbrüche stellen quadratische Irrationalzahlen dar; diese Aussage bewies Euler als Erster.
  3. Die Entwicklung jeder reellen Zahl in einen regulären Kettenbruch liefert die besten rationalen Approximationen für diese Zahl.

Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit Euler aber unbekannt war.[6] Eulers Arbeiten – und darauf aufbauend die von Joseph-Louis Lagrange[7] – begründeten die Theorie der Kettenbrüche.

Zur rationalen Approximation existiert neben dem Algorithmus von Euler auch ein Algorithmus von Lord William Brouncker. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Johann Heinrich Lambert benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von   zu zeigen. Seine Kettenbruchentwicklung der Tangensfunktion ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Moritz Abraham Stern schuf 1832 die erste systematische Zusammenfassung der Theorie der Kettenbrüche.[8] Im 19. Jahrhundert entwickelte sich die Theorie rasch weiter und so veröffentlichte Oskar Perron im Jahre 1913 eine Zusammenfassung des Wissensstandes, die bis heute als ein Standardwerk gilt (Neuauflage 1954/57).

Weitere wichtige Anwendungen waren und sind: Beweise für die Irrationalität oder die Transzendenz spezieller Zahlen und die Ermittlung von Schaltjahren (da ein Jahr mit 365,24219 Tagen etwas kürzer als 365¼ Tage ist, bedarf es zusätzlich zum Schalttag alle vier Jahre einer weiteren Korrektur; die beste Wahl dafür lässt sich mit Kettenbrüchen begründen).

DefinitionBearbeiten

Begriff des KettenbruchsBearbeiten

Ein (unendlicher) Kettenbruch ist ein fortgesetzter Bruch der Form

  oder (regulärer Fall)  

mit   und   für  .

Die Brüche   bzw.   werden Teilbrüche genannt,   heißt der  -te Teilzähler und   der  -te Teilnenner.[9] Ein Kettenbruch, der sich nach einem Teilbruch   nicht weiter fortsetzt, ist ein endlicher Kettenbruch.

Eine formalere Definition findet man im Abschnitt Darstellung als Komposition von Abbildungen.

Reguläre Kettenbrüche sind in der Zahlentheorie der bei weitem wichtigste Kettenbruch-Typ. Bei der Approximation von (reellen oder komplexen) Funktionen verwendet man auch Kettenbrüche mit Unbekannten, siehe zum Beispiel den Lambertschen Kettenbruch für die Tangensfunktion im Abschnitt „Geschichte“. Manchmal benötigt man einen endlichen regulären Kettenbruch, bei dem der letzte Eintrag   eine reelle (nicht-ganze) Zahl ist. Dies ermöglicht zum Beispiel die Schreibweise   usw. für die goldene Zahl. Auch werden bisweilen allgemeine Kettenbrüche mit   benutzt.

NotationBearbeiten

Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist

 

In Anlehnung an die Summen- und Produktzeichen   und   führte Gauß hierfür auch die folgende Schreibweise ein:

 

Ein regulärer Kettenbruch wird oft in der folgenden Weise geschrieben:[10]

 

  wird nur deshalb gesondert aufgeführt, weil es aus   ist, die nachfolgenden   aber immer nur aus   sind.

Die Notation für endliche Kettenbrüche ist dementsprechend

 

Darstellung als Komposition von AbbildungenBearbeiten

Man kann einen Kettenbruch auch als eine Komposition von Abbildungen   darstellen. Dies liefert eine formalere Definition als die bisher gegebene.

Hierfür setzt man   und erhält

 

Die Definition unendlicher Kettenbrüche erfolgt durch eine Grenzwertbetrachtung im Abschnitt Unendliche Kettenbrüche.

Endliche KettenbrücheBearbeiten

Endliche Kettenbrüche und ihre NäherungsbrücheBearbeiten

Von nun an betrachten wir ausschließlich reguläre Kettenbrüche. Bricht man den Kettenbruch   nach dem  -ten Glied ab  , so heißt

 

sein  -ter Näherungsbruch (oder auch  -te Konvergente). Die ersten Näherungsbrüche lauten offenbar

 .

Bei dem Beispiel 41/29 = [1;2,2,2,2] sind das die Brüche  . Der dritte Näherungsbruch lautet   und der vierte ist gleich  , also identisch zum Ausgangsbruch.

Mit vollständiger Induktion beweist man das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche (  und   werden pro forma auch für   definiert, damit die Formeln ab   stimmen):

     
     

sowie die Beziehung

 .

Daraus folgt, dass Näherungsbrüche stets in gekürzter Form vorliegen (wenn   und   beide durch eine natürliche Zahl größer als   teilbar wären, dann müsste auch die rechte Seite durch diese Zahl teilbar sein, was aber nicht der Fall ist). Dividiert man durch  , so folgt:

  
 
 (1)
 

Beispielsweise hat man für den zweiten und dritten Näherungsbruch von   die Beziehung

 .

Auf ähnliche Weise zeigt man

 

und

  
 
 (2)
 

Diese Formeln sind grundlegend für die weiter unten besprochenen Konvergenzfragen bei unendlichen Kettenbrüchen.

MatrixdarstellungBearbeiten

Das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche lässt sich auch elegant in Matrixform schreiben. Man erhält dann (wieder mit vollständiger Induktion zu beweisen):

 

Da die Determinante jeder der Matrizen auf der linken Seite   beträgt, folgt sofort:

 

und Multiplikation mit   zeigt erneut die oben angegebene Gleichung.

Durch Transposition der Matrizen folgt nun (da die Transposition die Reihenfolge der Matrizen umkehrt), dass   sowie   gelten.

Beispiel: Die Näherungsbrüche von   lauten  ,  ,   und  . Es gilt

 

und man bekommt   sowie  .[11]

Endliche Kettenbrüche und der euklidische AlgorithmusBearbeiten

 
Umformung von 17/10 nach [1;1,2,3] geometrisch veranschaulicht

Die Umwandlung einer rationalen Zahl in einen Kettenbruch erfolgt mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.

Als Beispiel rechnen wir für   wie folgt:

 

siehe dazu auch den Abschnitt Kettenbruchzerlegung im Artikel über den euklidischen Algorithmus. In der Abbildung ist dieses Verfahren veranschaulicht. Aus der folgenden Gleichungskette ist ersichtlich, dass die Kettenbruchentwicklung durch wiederholtes Einsetzen der Gleichungen des euklidischen Algorithmus entsteht:

 

Das graphische Verfahren kann so erläutert werden: man beginnt mit einem   großen Rechteck. Darin bringt man so viele Quadrate der Seitenlänge   unter, wie möglich (in diesem Beispiel geht das nur einmal). Es bleibt nun ein   großes Rechteck unbedeckt, auf das man die Überlegung weiter anwendet. Die Anzahl der jeweils verwendeten Quadrate sind dabei die Teilnenner des Kettenbruchs.[12]

Unendliche KettenbrücheBearbeiten

Unendliche Kettenbrüche: Konvergenz und NäherungsbrücheBearbeiten

 
Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden eine steigende Folge, solche mit ungeradem Index eine fallende Folge. Beide konvergieren gegen  .

Für eine (unendliche) Folge   ist der Kettenbruch   nur dann definiert, wenn die Folge der Näherungsbrüche   konvergiert. In diesem Fall hat der unendliche Kettenbruch   den Wert  .

Da hier nur reguläre Kettenbrüche behandelt werden, gilt: Jeder unendliche Kettenbruch konvergiert.[13]

Das erkennt man folgendermaßen: die Folge der Näherungsbrüche mit geraden Indizes, also   ist aufgrund Gleichung (2) monoton steigend, während die Folge mit ungeraden Indizes   monoton fallend ist, siehe Abbildung. Da außerdem jeder ungerade Näherungsbruch größer ist als jeder gerade, sind beide Folgen monoton und beschränkt und konvergieren daher. Ihre beiden Grenzwerte sind aber aufgrund Gleichung (1) gleich (da die   beliebig groß werden, geht die Differenz gegen 0).

Nun betrachte man  

Aus den oben angegebenen Formeln lässt sich die Differenz zwischen   und dem  -ten Näherungsbruch abschätzen:

  
 
 (3)
 

Als Beispiel für Gleichung (3) betrachte man den Kettenbruch der Quadratwurzel von 2. Im Abschnitt Periodische Kettenbrüche wird gezeigt, dass  .

Die ersten Näherungsbrüche dieses unendlichen Kettenbruchs sind  ,  ,  ,  ,   und Gleichung (3) besagt in diesem Fall für  :

 .

Klar ist nun, dass jede rationale Zahl einen endlichen Kettenbruch hat und dass jeder endliche Kettenbruch eine rationale Zahl darstellt. Diese Darstellung ist nicht eindeutig, da man das Ende des Kettenbruchs auf zwei Arten schreiben kann, ohne den Wert zu verändern: man kann zwischen den Darstellungen   und   wechseln. Jede irrationale Zahl hat aber eine eindeutige Darstellung:

Satz (Rationale und irrationale Zahlen, Eindeutigkeit der Darstellung):

Jede reelle Zahl kann als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Für irrationale Zahlen ist die Kettenbruchdarstellung unendlich und eindeutig. Rationale Zahlen entsprechen endlichen Kettenbrüchen und jede rationale Zahl hat genau zwei Kettenbruchdarstellungen.

Für den Beweis der Aussage, dass jeder unendliche Kettenbruch eine irrationale Zahl darstellt, gilt: Betrachtet man   und nimmt an, dass   rational wäre, so ist

 

und Multiplikation mit   und   ergibt

 .

Da die   für wachsendes   beliebig groß werden und die Zahl zwischen den Betragsstrichen stets eine ganze Zahl ist, liefert das einen Widerspruch. Somit ist   nicht rational.

Unendliche Kettenbrüche und der verallgemeinerte euklidische AlgorithmusBearbeiten

Für irrationale Zahlen   wird eine Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus verwendet. Dieser funktioniert auch für rationale Zahlen; wir prüfen deshalb in jedem Schritt, ob der Algorithmus abbricht:

  1. Ist   keine ganze Zahl, so setzt man   (Ganzteil von  ) und   auf das Inverse des Rests, also  .
  2. Falls   nicht ganz ist, dann setzt man   und  .

Dieses Verfahren wird fortgesetzt bis man ein ganzzahliges   erhält (das geschieht natürlich nur dann, wenn der Startwert rational ist). Bei einem irrationalen   bricht das Verfahren nicht ab. Die Zahlen   werden vollständige Quotienten genannt. Es gilt

 .

Ähnlich wie das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche beweist man:

  
 
 (4)
 

Beispiele: Wir berechnen die Kettenbruchentwicklung von   bis zur zweiten Stelle:

  also  ,
  also  ,
  also  .

Sie lautet also  . Weitere Stellen gibt es im Artikel Kreiszahl, ein Muster wurde jedoch bislang in der regulären Kettenbruchentwicklung von   nicht entdeckt.

Im Gegensatz dazu findet man ein klares Muster im Kettenbruch der eulerschen Zahl  :

 .

Bei der dritten Wurzel von   gibt es wiederum kein Muster:

 .

Als Beispiel für die Verwendung von Gleichung (4) betrachte man die aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche 17/12 und 41/29 von  .

Da die vollständigen Quotienten für   gleich   sind, gilt:

 

Wie im Abschnitt „Geschichte“ erwähnt, fand Euler heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von   oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und Lagrange zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben. Diesem Thema ist der übernächste Abschnitt gewidmet.

Äquivalente ZahlenBearbeiten

Zwei reelle Zahlen   heißen äquivalent,[14] wenn es ganze Zahlen   mit   gibt, sodass   gilt. Man sieht leicht, dass diese Definition tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf den reellen Zahlen liefert: mit   ist die Reflexivität gezeigt, mit   folgt die Symmetrie, und die Transitivität kann man explizit nachrechnen.

Jede rationale Zahl ist äquivalent zu 0, alle rationalen Zahlen bilden also eine Äquivalenzklasse. Daher ist diese Einteilung der reellen Zahlen hauptsächlich für irrationale Zahlen interessant. Die Beziehung zu ihren regelmäßigen Kettenbruchentwicklungen ergibt sich durch folgenden Satz von Serret:

Satz: Zwei irrationale Zahlen   sind genau dann äquivalent, wenn ihre Kettenbruchdarstellungen   und   so beschaffen sind, dass es natürliche Zahlen   und   gibt, sodass für alle     gilt.[15]

Die Übereinstimmung in ihren Kettenbruchdarstellungen bis auf eine unterschiedliche Anfangssequenz führt bei äquivalenten Zahlen zu asymptotisch gleichen Approximationseigenschaften. Ein Beispiel ist im Abschnitt Sätze über quadratische Approximierbarkeit angeführt (Gleichung 5).

Periodische KettenbrücheBearbeiten

 
Kettenbruch der Quadratwurzel von 13 in Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo von 1767

Bei der Dezimaldarstellung reeller Zahlen entsprechen periodische Darstellungen den rationalen Zahlen. Man unterscheidet rein-periodische Dezimalbrüche, z. B.  , und solche mit einer Vorperiode, wie bei  .

Bei Kettenbrüchen spielen periodische Darstellungen ebenfalls eine besondere Rolle. Wie Euler und Lagrange herausfanden, entsprechen sie den quadratischen Irrationalzahlen (irrationale Lösungen quadratischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten). Insbesondere sind die Kettenbrüche derjenigen reellen Zahlen, die weder rational noch quadratische Irrationalzahlen sind, nicht-periodisch.

Ein Kettenbruch wird periodisch genannt, wenn es Zahlen   gibt, so dass für die Teilnenner   für alle   gilt. Das minimale   mit dieser Eigenschaft nennt man die Periode des Kettenbruchs, der dann in der Form

 

geschrieben wird. Ist auch   minimal gewählt, heißt die Folge   die Vorperiode und   ihre Länge.

Satz von Euler-LagrangeBearbeiten

Satz: Jeder periodische Kettenbruch ist eine quadratische Irrationalzahl und umgekehrt.

Der erste Teil des Satzes ist einfacher zu beweisen und stammt von Euler, während die Umkehrung schwieriger ist und erst später von Lagrange bewiesen wurde.[16]

BeispieleBearbeiten

  1. Sei  . Dann gilt  , also ist   Wurzel der quadratischen Gleichung  , woraus   folgt (da die andere Nullstelle negativ ist). Daher ist   die goldene Zahl (siehe auch den Artikel Goldener Schnitt).
  2. Sei  . Wir betrachten  . Dann ist  , woraus   und   folgt. Da   gilt, muss   sein. Daher gilt  .
  3. Sei  . Wir betrachten  . Dann ist  , also  , woraus   und   folgt. Da   gilt, muss   sein. Daher gilt  .
  4. Eine besondere Form periodischer unendlicher Kettenbrüche haben die sogenannten „noblen Zahlen“: Ihre Kettenbruchentwicklung endet stets mit  . Die goldene Zahl ist das wohl prominenteste Beispiel einer noblen Zahl.
  5. Die Kettenbrüche irrationaler Quadratwurzeln rationaler Zahlen größer als 1 haben eine besondere Symmetrie: Für jede rationale Zahl  , die nicht Quadrat einer rationalen Zahl ist, gilt
 
und umgekehrt ist das Quadrat jedes Kettenbruchs dieser Form eine rationale Zahl.[17]
Die Vorperiode hat also stets Länge  , der periodische Block ist symmetrisch und wird beendet mit  . Beispiele dafür sind außer den Wurzeln von   und  :
 
 
Der Kettenbruch der Quadratwurzel von   in einem Werk von Euler über die Pellsche Gleichung ist rechts abgebildet.[18] Die goldene Zahl aus Beispiel 1 hat diese Form nicht. Ein weiteres „Gegen“-Beispiel dieser Art ist  .

Pellsche GleichungBearbeiten

Periodische Kettenbrüche werden zur Lösung der Pellschen Gleichung   verwendet.

Hauptartikel: Pellsche Gleichung

Beste NäherungenBearbeiten

Zwei Möglichkeiten bester NäherungBearbeiten

In der Einleitung wurde erwähnt, dass die Bestimmung von „guten Näherungsbrüchen“ eine wichtige Anwendung von Kettenbrüchen ist. Es gilt nämlich, dass jeder Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl eine besonders gute rationale Näherung dieser Zahl ist.

Da man jede irrationale Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann, gibt es keine absolute beste Näherung an eine irrationale Zahl. Man unterscheidet stattdessen zwei Arten von „Rekordnäherungen“:

Definition: Ein Bruch   ist eine beste Näherung 1. Art für die reelle Zahl  , wenn für alle Brüche   mit   und   gilt:

 

Einen besseren Näherungsbruch kann man also nur bekommen, wenn man größere Nenner als   erlaubt.

(Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf positive reelle Zahlen und betrachten daher nur natürliche Zahlen   als Zähler und Nenner.) Weiter:

Ein Bruch   ist eine beste Näherung 2. Art für die reelle Zahl  , wenn für alle Brüche   mit   und   gilt:

 

Beide Begriffe bester Näherung werden – je nach Anwendung – gebraucht.

Die stärkere Bedingung ist die zweite: angenommen es gibt einen Bruch   mit   und  , dann liefert die Multiplikation mit   die Ungleichung  . Das zeigt, dass ein Bruch, der nicht beste Näherung der 1. Art ist, auch keine beste Näherung 2. Art sein kann. Daraus folgt, dass jede beste Näherung 2. Art ebenso eine beste Näherung 1. Art ist.

Beispiel: Wir betrachten  . Die Näherungsbrüche  ,  ,   lauten  ,   und   und sie bilden die vollständige Liste der besten Näherungen 2. Art. Es gibt jedoch weitere beste Näherungen 1. Art, nämlich   und  . Dieses Thema wird in den nächsten beiden Abschnitten behandelt.

Näherungsbrüche sind beste NäherungenBearbeiten

Die Nützlichkeit der Näherungsbrüche zeigt sich in folgendem Satz:

Satz (Lagrange[19]): Für jede reelle Zahl gilt: jeder Näherungsbruch   mit   ist eine beste Näherung 2. Art (und daher auch eine beste Näherung 1. Art).

Für einen 0-ten Näherungsbruch gilt dies nicht immer, da dieser beispielsweise bei   den Wert   hat, aber die ganze Zahl   eine bessere Näherung mit Nenner   darstellt.[20]

Man kann diesen Satz im Fall von besten Näherungen 2. Art umkehren:

Satz:[21] Jede beste Näherung 2. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung.

Für Näherungen 1. Art gilt dies jedoch nicht, wie oben im Beispiel 17/10 dargestellt. Man kann jedoch die zusätzlich auftretenden Brüche charakterisieren: sie entstehen als Medianten (Farey-Summen) von Näherungsbrüchen und werden Nebennäherungsbrüche genannt. Näheres dazu im nächsten Abschnitt.

 
Nebennäherungsbrüche in Lagranges „Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques“ aus dem Jahr 1770 (Seite 567)

Beispiel: Angenommen, man sucht die kleinste natürliche Zahl  , für die der Abstand von   von der nächstgelegenen ganzen Zahl kleiner als   ist. Aufgrund des letzten Satzes muss   in der Folge der Näherungsbruch-Nenner   von   enthalten sein. Die ersten Nenner lauten, wie schon oben ausgerechnet,  . Sie genügen aufgrund der periodischen Teilnenner der Rekursion   (eine Lucas-Folge). Der Näherungsbruch   ist gleich   und es gilt  , so dass der Abstand zu   kleiner als die geforderte Genauigkeit ist. Das gesuchte   ist also gleich  , da die Genauigkeit von   für   nicht erreicht ist.

Die gleiche Frage für die goldene Zahl   führt zur Überprüfung von   für Elemente   der Fibonacci-Folge und man erhält als Ergebnis  .

Approximation von oben und unten, NebennäherungsbrücheBearbeiten

Schon 1770 hatte sich Lagrange mit dem Thema beschäftigt, welche Näherungen 1. Art zusätzlich zu den Näherungsbrüchen auftreten (siehe Abbildung rechts). Er wurde zu den „fractions secondaires“ geführt, die im Deutschen Nebennäherungsbrüche genannt werden.

Es handelt sich um Medianten benachbarter Näherungsbrüche:

Definition: Für zwei positive Brüche  ,   mit   heißt   der Mediant (oder die Farey-Summe) der beiden Brüche. Der Mediant hat die einfach zu zeigende Eigenschaft, dass  .

Aufgrund dieser Eigenschaft kann man die Bildung des Medianten wiederholt ausführen (iterieren) und bekommt Brüche der Form

 

die eine aufsteigende Folge bilden. Für die folgende Definition der Nebennäherungsbrüche werden also iterierte Medianten benachbarter Näherungsbrüche gebildet:

Definition: Die zu einem Kettenbruch gehörenden Brüche

 

heißen Nebennäherungsbrüche. Sie liegen zwischen dem  -ten und dem  -ten Näherungsbruch. Für gerades   bilden sie eine steigende Folge und für ungerades   eine fallende Folge.

Anmerkung: im besonderen Fall   verwendet man  ,   und erhält eine fallende Folge, die größer ist als  .

Satz: (Lagrange 1798[22]) Jede beste Näherung 1. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch oder ein Nebennäherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung.

Eine Charakterisierung der Menge der Näherungsbrüche und Nebennäherungsbrüche kann man wie folgt erhalten:

Satz: (Lagrange 1798[23]) Für jede reelle Zahl   gilt:

a) Jeder Bruch, der zwischen   und einem Näherungs- oder Nebennäherungsbruch liegt, hat einen größeren Nenner als dieser.

b) Ist umgekehrt ein Bruch   von der Art, dass jeder Bruch, der zwischen   und   liegt, einen Nenner größer als   hat, dann ist   ein Näherungs- oder Nebennäherungsbruch.

In anderen Worten: betrachtet man nur approximierende Brüche größer als   (oder umgekehrt kleiner als  ), so sind die Rekordnäherungen vollständig durch die Menge der Näherungs- oder Nebennäherungsbrüche beschrieben.[24]

 
(Neben-)Näherungsbrüche von   (Erläuterung im Text)

In der Definition der besten Näherung 1. Art werden aber die Approximationen von oben und unten gleichzeitig betrachtet. Die Analyse dieser Situation (Verfeinerung des vorletzten Satzes) ergibt:

Satz:[25] Es sei   die Anzahl der Nebennäherungsbrüche zwischen dem  -ten und dem  -ten Näherungsbruch. Dann gilt: ist   gerade, so ergibt die zweite Hälfte der Nebennäherungsbrüche beste Näherungen 1. Art, die erste Hälfte aber nicht. Das Gleiche gilt – mit Ausnahme des mittleren Elements –, wenn   ungerade ist. Für den mittleren Bruch gibt es eine kompliziertere Bedingung, die wir hier nicht angeben.

Beispiele

a) Wir betrachten das einfache Beispiel  . Die Näherungsbrüche sind  ,   und  . Die Nebennäherungsbrüche für   sind  ,  ,  ,   (größer als  ) und für   ist es der Bruch   (zwischen   und  ).

b) Für die Kreiszahl   lauten die ersten Näherungsbrüche  ,  ,   und  . Die Nebennäherungsbrüche sind für   die Brüche  ,  ,  ,  ,  ,  . Sie bilden eine fallende Folge und die letzten drei sind beste Näherungen 1. Art. (Die ersten drei sind weiter entfernt von   als der Näherungsbruch  ). Für   findet man die Nebennäherungsbrüche  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  . Diese   Brüche bilden eine steigende Folge und die letzten sieben sind beste Näherungen 1. Art.

In der Abbildung rechts sind diese (Neben-)Näherungsbrüche illustriert: auf der y-Achse ist   gegen   auf der x-Achse abgetragen. Außer den Näherungen von unten (rot) und von oben (blau) enthält die Graphik noch die Schranke  , deren Bedeutung im nächsten Abschnitt klar wird.[26] Gut zu sehen ist, dass nur die zweite Hälfte der Nebennäherungsbrüche für   eine bessere Näherung liefert als  . Außerdem sieht man, dass die Näherung durch   außergewöhnlich gut ist (Grund dafür: der nächste Teilnenner ist mit   sehr groß).

Sätze über quadratische ApproximierbarkeitBearbeiten

In diesem Abschnitt stellen wir Ergebnisse vor, die zum Thema „Diophantische Approximation“ überleiten. Vertiefte Sätze findet man daher im

Hauptartikel: Diophantische Approximation

Aus Gleichung (3) folgt wegen   Zu jeder irrationalen Zahl   gibt es unendlich viele Brüche   mit[27]

 

Umgekehrt gilt für jede reelle Zahl  :

Satz (Legendre):[28] Erfüllt ein Bruch   die Ungleichung   so ist   ein Näherungsbruch von  .

Diese Ungleichung wird jedoch nicht von jedem Näherungsbruch erfüllt. Es gilt aber:

Satz (Vahlen, 1895):[29] Von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen der reellen Zahl   erfüllt mindestens einer die Ungleichung

 

Insbesondere gibt es auch hier für irrationales   unendlich viele Brüche mit dieser Eigenschaft.

Bezieht man drei Näherungsbrüche in die Auswahl ein, so gilt sogar:

Satz (Émile Borel, 1903):[30] Von jeweils drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen der reellen Zahl   erfüllt mindestens einer die Ungleichung

 

Insbesondere gibt es für irrationales   unendlich viele Brüche mit dieser Eigenschaft.

Man könnte angesichts dieser Ergebnisse vermuten, dass man die Bedingung durch Einbeziehen von vier oder mehr aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche weiter verschärfen kann. Dies ist aber nicht der Fall:

Satz (Hurwitz, 1891,[31] siehe auch Satz von Hurwitz): Sei   die goldene Zahl. Dann gibt es für jede reelle Zahl   mit   nur endliche viele Brüche   mit

 

Eine Verschärfung lässt sich nun nur erreichen, wenn man die zu   äquivalenten Zahlen ausschließt:

Satz (Hurwitz, 1891):[32] Für alle irrationalen Zahlen  , die nicht äquivalent zu   sind, gibt es unendlich viele Brüche   mit

  
 
 (5)
 

Durch weiteres Ausschließen von Äquivalenzklassen kann man die Konstante   weiter vergrößern. Die dabei auftretenden Werte   bilden das sogenannte Lagrange-Spektrum. Sie konvergieren gegen die Zahl 3 und sind mit den Markoff-Zahlen verwandt.[33]

Eigenschaften fast aller irrationalen ZahlenBearbeiten

 
Beispiele für augenscheinliche, aber bislang nicht nachgewiesene Konvergenz gegen die Chintschin-Konstante,
Rot:   (Kreiszahl),
Blau:   (Euler-Mascheroni-Konstante),
Grün: ∛2 (Kubikwurzel aus 2).
Schwarze Linie: Chintschin-Konstante
 
Nachweislich keine Konvergenz gegen die Chintschin-Konstante,
Rot:   (Eulersche Zahl),
Blau: √2 (Wurzel 2),
Grün: √3 (Wurzel 3).
Schwarze Linie: Chintschin-Konstante

Chintschin-KonstanteBearbeiten

Die sogenannte metrische Kettenbruchtheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften, die typische reelle Zahlen haben. Sie geht auf den gleichnamigen Artikel von Alexander Chintschin in der Zeitschrift Compositio Mathematica aus dem Jahr 1935 zurück,[34] aber auch Gauß beschäftigte sich schon mit ähnlichen Themen.[35] Typisch ist hier im maßtheoretischen Sinn zu verstehen: Man formuliert Eigenschaften, die, bis auf eine Nullmenge, alle reellen Zahlen besitzen. In diesem Fall sagt man, dass fast alle reellen Zahlen diese Eigenschaft haben.

Das Ergebnis von Chintschin lautet: Für fast alle reellen Zahlen konvergiert   für   gegen die Konstante

    (Folge A002210 in OEIS).

Das geometrische Mittel der Teilnenner fast jeder reellen Zahl konvergiert also gegen eine feste Konstante. Zu den Ausnahmen gehören alle rationalen Zahlen, da sie nur endlich viele Teilnenner besitzen – aber sie bilden eben auch nur eine Nullmenge der reellen Zahlen.

Es ist nicht bekannt, ob diese sogenannte Chintschin-Konstante rational, algebraisch irrational oder transzendent ist.

Die Kettenbruchentwicklungen von Zahlen, für die der Grenzwert nicht existiert oder ungleich der Chintschin-Konstante ist, sind meist besonders regelmäßig. Dies gilt für reelle Lösungen quadratischer Gleichungen (periodische Kettenbruchentwicklung, z.B. die Quadratwurzel von  ), die Eulersche Zahl   (Muster wurde weiter oben erwähnt) und beispielsweise alle Zahlen der Form   oder   ( ).

Rechts sind Diagramme zu den Graphen der Funktion   für je drei Beispiele zu sehen.

Vergleich von Kettenbruchdarstellung und DezimaldarstellungBearbeiten

Hauptartikel: Satz von Lochs

Der Satz von Lochs besagt folgendes: für fast jede reelle Zahl zwischen   und   bekommt man auf lange Sicht für jedes weitere Glied eines Kettenbruchs  -viele gültige Dezimalstellen. Damit ist die Darstellung mit Kettenbrüchen (für fast alle Zahlen) nur leicht effizienter als die Dezimaldarstellung. Die Lochs-Konstante ist mit der Lévy-Konstante   verwandt (sie ist das Doppelte des Zehner-Logarithmus der Lévy-Konstante).

Siehe auchBearbeiten

Verwandte Gebiete in der Zahlentheorie:

LiteraturBearbeiten

  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 1. Auflage in einem Band 1913 (im Internet-Archiv: [2]), 2. Auflage 1929, 3. Auflage in zwei Bänden, Band 1: Elementare Kettenbrüche 1954, Band 2: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche 1957
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen, Göschens Lehrbücherei Band 1, Walter de Gruyter, Berlin Leipzig 1921 (im Internet-Archiv: [3]), 2. Auflage 1939, 3. Auflage 1947
  • Alexander J. Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956, oder Continued Fractions, Dover Publications, 1997 (russ. Original 1935)
  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 2005 (1. Auflage 1938)
  • Hubert Stanley Wall: Analytic theory of continued fractions. Van Nostrand, New York 1948
  • Ivan M. Niven, Herbert S. Zuckerman: Einführung in die Zahlentheorie. 2 Bände, Bibliographisches Institut, Mannheim 1976 (engl. Original: Wiley 1960)
  • Carl Douglas Olds: Continued fractions. (New Mathematical Library 9) Mathematical Association of America, 1963
  • Claude Brezinski: History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer, Berlin 1991
  • Andrew M. Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions. World Scientific, 1992
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Zur Anwendung in der Kryptographie siehe z. B. das Buch „Solving the Pell Equation“ von M. Jacobson und Hugh C. Williams und zur algebraischen Geometrie den Artikel The geometry of continued fractions and the topology of surface singularities von Patrick Popescu-Pampu, [1] (PDF; 676 kB), in dem auch die geometrische Darstellung von H. J. S. Smith (1876) und Felix Klein (1895) und die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche erläutert werden (diese ähneln regulären Kettenbrüchen, wobei hier statt Addition die Subtraktion verwendet wird. Der Bruch   wird so beispielsweise als   geschrieben.) Für die Anwendung in der Funktionentheorie siehe das Buch von H. S. Wall und bei chaotischen Systemen die Webseite von John D. Barrow, Chaos in Numberland.
  2. Dass dieser Kettenbruch gleich der Quadratwurzel von 2 ist, wird im Abschnitt Periodische Kettenbrüche gezeigt.
  3. Lamberts Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion, siehe dafür Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage, Springer, 1992, S. 122.
  4. Die Angabe des relativen Fehlers ist hier nicht sinnvoll, da sich die Approximationseigenschaften einer Zahl nicht durch Addition von ganzen Zahlen ändern.
  5. Leonhard Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel
  6. André Weil: Number Theory. Birkhäuser Verlag, Boston 1984, ISBN 0-8176-4565-9.
  7. Winfried Scharlau, Hans Opolka: Von Fermat bis Minkowski. Springer, 1980, ISBN 3-540-10086-5.
  8. Moritz Abraham Stern: Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 1833, Issue 10, 1833, S. 1–22, doi:10.1515/crll.1833.10.1. Es gibt auch eine Zusammenfassung mehrerer Artikel dieser Zeitschrift in Buchform aus dem Jahr 1834.
  9. In der älteren Literatur werden   und   oft vertauscht, so dass die Teilnenner   heißen.
  10. Außer den hier angegebenen Schreibweisen gibt es noch   (zum Beispiel in Conway/Guy: The book of numbers. Springer, 1996),   (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) sowie   (z. B. in Donald Knuth: The Art of Computer Programming (Band 2), Addison Wesley, 1997).
  11. Siehe Alf van der Poorten: Symmetry and folding of continued fractions, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 14 (2), 603–611 (2002).
  12. Für eine aktuelle Verwendung dieser Veranschaulichung siehe Dusa McDuff: Symplectic embeddings and continued fractions: a survey, Japanese Journal of Mathematics, 4(2), 2009.
  13. Das wäre zum Beispiel nicht der Fall, wenn als Teilnenner beliebige positive reelle Zahlen zugelassen wären. In diesem Fall gilt: der Kettenbruch   konvergiert genau dann, wenn die Summe   divergiert.
  14. A. Hurwitz: Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche. In: Mathematische Annalen, Band 39, 1891, S. 284. Siehe auch Hardy/Wright, Kapitel 10.11.
  15. Siehe Perron (1929), 2. Kapitel, Satz 23 (Seite 63).
  16. Joseph-Louis Lagrange: Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, Œuvres complètes, tome 2, 581–652 (1770)
  17. Siehe Perron (1913), 3. Kapitel, Satz 9.
  18. Als Quelle siehe Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo. Ganz unten erkennt man auch die Zahl  . Die Kettenbruchentwicklung ihrer Quadratwurzel hat Periode  :   und Euler rechnet sie als nächstes Beispiel aus. Einige Seiten später findet man eine komplette Liste der periodischen Kettenbrüche für   bis 120.
  19. Siehe Chintschin, Satz 17.
  20. Es gibt noch einen Ausnahmefall für rationale Zahlen  , der aber vermieden werden kann, wenn man nur solche Kettenbrüche erlaubt, deren letzter Teilnenner größer als   ist. Es handelt sich um  . Diese kann man als   oder als   schreiben. Im letzten Fall ist   und dieser Näherungsbruch hat den gleichen Abstand zu   wie der 0-te Näherungsbruch  . Siehe Hardy/Wright, Seite 194.
  21. Siehe Chintschin, Satz 16.
  22. Siehe Chintschin, Satz 15.
  23. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Sätze 20 und 21.
  24. Siehe hierfür zum Beispiel die Aufgaben zu Kapitel 7.5 im Buch von Niven/Zuckerman.
  25. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 22.
  26. Genauer formuliert müsste man natürlich sagen, dass die Graphik zusätzlich noch den Logarithmus dieser Schranke enthält.
  27. Siehe auch die ähnliche Aussage im Artikel Dirichletscher Approximationssatz.
  28. Legendre: Essai sur la théorie des nombres. 1798. In der Auflage von 1808 findet sich der Beweis auf Seite 21.
  29. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 14.
  30. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 15.
  31. Zum Beweis siehe zum Beispiel Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Bibliographisches Institut 1989, Seite 99.
  32. Hurwitz, 1891, Mathematische Annalen 39, Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche. S. 279–284.
  33. Siehe Michel Waldschmidt: Introduction to Diophantine methods irrationality and trancendence. (PDF; 700 kB), Seiten 24–26.
  34. A. Khintchine: Metrische Kettenbruchprobleme (29. März 1934), Compositio Mathematica 1, 1935, S. 361–382.
  35. Der Satz von Gauß-Kusmin betrifft die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilnenner reeller Zahlen (R. O. Kusmin, 1928, außerdem Paul Lévy, 1929). Es gilt nämlich für alle natürlichen Zahlen  : Das Maß von   konvergiert für   gegen  . Für   beträgt der Grenzwert ungefähr 41 %, für   ungefähr 17 %. Siehe hierzu das Buch von Chintschin.
  Dieser Artikel wurde am 13. April 2010 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.