Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)

mathematischer Satz

Die Mathematik kennt eine Anzahl von Sätzen, welche mit dem Namen von Adolf Hurwitz verknüpft sind. Der Satz von Hurwitz der Zahlentheorie betrifft die sogenannte diophantische Approximation irrationaler Zahlen, also die Approximation irrationaler Zahlen durch Bruchzahlen. Der Satz gibt eine Obergrenze für die Güte der Approximation an.

Der SatzBearbeiten

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[1]

Für jede irrationale Zahl   existieren unendlich viele voll gekürzte Brüche  , welche

 

erfüllen.

Im von Scheid[2] entwickelten Beweis des Satzes werden in entscheidender Weise Eigenschaften der Farey-Folgen genutzt.

Güte der ObergrenzeBearbeiten

Die Konstante   ist scharf, also im Allgemeinen nicht zu ersetzen durch eine bessere Konstante. Dies lässt sich nachweisen anhand der irrationalen Zahl   (bekannt im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt).[3]

Für eine einzelne Zahl   kann es bessere Approximationen geben, z. B. für Liouville-Zahlen. Ist   eine algebraische Zahl, lässt sich der Exponent von   nach dem Satz von Thue-Siegel-Roth aber nicht verbessern.

Verwandte ErgebnisseBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64.
  2. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 64–65.
  3. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg (u. a.) 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 65.