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Subfakultät Fakultät
0 1 1
1 0 1
2 1 2
3 2 6
4 9 24
5 44 120
6 265 720
7 1.854 5.040
8 14.833 40.320
9 133.496 362.880
10 1.334.961 3.628.800

Die Subfakultät ist eine vornehmlich in der Kombinatorik auftretende Funktion. Sie gibt die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer Menge mit Elementen an und wird durch notiert. Die Subfakultät ist eng mit der Fakultät verwandt, die die Gesamtzahl der Permutationen einer -elementigen Menge angibt. Sie ist näherungsweise gleich dem Quotienten aus der Fakultät und der eulerschen Zahl .

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Subfakultät einer natürlichen Zahl   wird mit Hilfe der Fakultät durch

 

definiert. Die Subfakultät   entspricht der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen (Derangements) einer  -elementigen Menge, während die Fakultät   die Anzahl aller möglichen Permutationen angibt.

BeispielBearbeiten

Angenommen, man hat sechs verschiedenfarbige Kugeln, und zu jeder Kugel ein Kästchen in der passenden Farbe. Zu bestimmen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln so auf die Kästchen zu verteilen, dass jedes Kästchen genau eine andersfarbige Kugel enthält. Dafür gibt es genau

 

Möglichkeiten.

Weitere DarstellungenBearbeiten

RundungsdarstellungenBearbeiten

Vergleich von Näherungen der Subfakultät
         
1 0,37 0 0,74 0
2 0,74 1 1,10 1
3 2,21 2 2,58 2
4 8,83 9 9,20 9
5 44,15 44 44,51 44
6 264,87 265 265,24 265
7 1.854,11 1.854 1.854,48 1.854
8 14.832,90 14.833 14.833,27 14.833
9 133.496,09 133.496 133.496,46 133.496

Es gilt

 

mit der eulerschen Zahl   und der unvollständigen Gammafunktion  . Eine sehr gute Näherung ist

 .

Gerundet erhält man für   sogar die exakte Formel

 ,

wobei   die   nächstliegende ganze Zahl bezeichnet. Wird in der letzten Formel vor der Division noch die Zahl Eins addiert, so erspart man sich die Unterscheidung, ob ab- oder aufgerundet werden muss. Stattdessen schneidet man den Nachkommateil einfach ab (siehe Gaußklammer) und man erhält für  :[1]

 .

Rekursive DarstellungenBearbeiten

Rekursive Darstellung der Subfakultät
         
1 1 1 −1 0
2 0 0 +1 1
3 1 3 −1 2
4 2 8 +1 9
5 9 45 −1 44
6 44 264 +1 265
7 265 1.855 −1 1.854
8 1.854 14.832 +1 14.833
9 14.833 133.497 −1 133.496

Die Subfakultät lässt sich auch über die beiden Formeln

 

und

 

rekursiv berechnen. Der Term   entspricht dabei der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer  -elementigen Menge, bei denen ein Element fest vorgegeben ist (Folge A000255 in OEIS).

IntegraldarstellungBearbeiten

Die folgende Integraldarstellung verallgemeinert die Subfakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

 .

Hierbei ist   mit  .

UnterhaltungsmathematikBearbeiten

Die einzige subfakultative narzisstische Zahl, also die einzige Zahl, die gleich der Summe ihrer der Subfakultät unterzogenen (dezimalen) Ziffern ist, lautet[2]

 .

In anderen Zahlensystemen ist dies u. a. bei 9 der Fall:

 

Insbesondere ist 5 die kleinste Basis, zu der eine Zahl mit dieser Eigenschaft existiert.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Mehdi Hassani: Derangements and Applications. In: Journal of Integer Sequences. Vol. 6, Article 03.1.2, 2003.
  2. Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Dover, New York NY 1979, ISBN 0-486-23762-1, S. 167.

WeblinksBearbeiten