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In der Mathematik und ihren Anwendungen bezeichnet asymptotische Analyse eine Methode, um das Grenzverhalten von Funktionen zu klassifizieren, indem man nur den wesentlichen Trend des Grenzverhaltens beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

Beschreibung des asymptotischen VerhaltensBearbeiten

Das asymptotische Verhalten von Funktionen lässt sich mit einer Äquivalenzrelation beschreiben. Sind beispielsweise   und   reellwertige Funktionen natürlicher Zahlen n, so lässt sich eine Äquivalenzrelation definieren durch

 

genau dann wenn

 .

Die Äquivalenzklasse von   besteht aus allen Funktionen  , bei denen der relative Fehler   zu   beim Grenzübergang   gegen 0 strebt. Diese Definition lässt sich unmittelbar auf Funktionen einer reellen oder komplexen Veränderlichen   übertragen sowie auf den Fall   gegen  , wobei die Annäherung an   oft nur über eine Teilmenge erfolgt, z. B. im Reellen von links oder von rechts, bzw. im Komplexen in einem Winkelbereich, oder über eine vorgegebene diskrete Menge.

Einige Beispiele für asymptotische ResultateBearbeiten

  • Der Primzahlsatz der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl von Primzahlen kleiner   für große   sich asymptotisch verhält wie  .
  • Die Stirling-Formel beschreibt das asymptotische Verhalten der Fakultäten.
  • Vier elementare Beispiele sind  ,  ,   und   mit dem asymptotischen Verhalten  ,  ,   bzw.   für   gegen 0.

Landau-NotationBearbeiten

Eine nützliche Notation zur Beschreibung der Wachstumsklassen ist die Landau-Notation, die ursprünglich von Paul Bachmann stammt, aber durch Edmund Landau bekannt gemacht wurde. Eine wichtige Anwendung der Landau-Notation ist die Komplexitätstheorie, in der asymptotische Laufzeit und Speicherverbrauch eines Algorithmus untersucht werden.

Die einfachste Art, diese Symbole zu definieren, ist die folgende:   und   sind Klassen von Funktionen mit den Eigenschaften

Für alle  
Für alle  

  wird in der Regel aus dem Kontext klar. Weiter schreibt man häufig statt   das Folgende:  .

Asymptotische EntwicklungBearbeiten

Unter einer asymptotischen Entwicklung einer Funktion   versteht man die Darstellung der Funktion als nicht notwendigerweise konvergente Reihe. Die Partialsummen einer solchen Reihe brauchen nicht zu konvergieren, liefern aber in der Nähe von   gute Näherungen für den Funktionswert. Das bekannteste Beispiel einer asymptotischen Entwicklung ist die stirlingsche Reihe als asymptotische Entwicklung für die Fakultät. Definieren lässt sich eine solche Entwicklung mit Hilfe einer asymptotischen Folge   als

 

mit  .

Falls die asymptotische Entwicklung nicht konvergiert, gibt es für jedes Funktionsargument   einen Index  , bei dem der Approximationsfehler

 

am kleinsten wird; Hinzufügen weiterer Terme verschlechtert die Approximation. Der Index   der besten Approximation wird bei asymptotischen Entwicklungen aber umso größer, je näher   bei   liegt.

Asymptotische Entwicklungen treten insbesondere bei der Approximation gewisser Integrale auf, beispielsweise mittels der Sattelpunktmethode. Das asymptotische Verhalten von Reihen lässt sich darauf oft mit Hilfe der eulerschen Summenformel zurückführen.

LiteraturBearbeiten

  • A. Erdélyi: Asymptotic Expansions. Dover Books on Mathematics, New York 1987, ISBN 0-486-60318-0.
  • L. Berg: Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968, DNB 750308605.