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Stirlingformel

mathematischer Satz, Näherung für Fakultäten natürlicher Zahlen
(Weitergeleitet von Stirling-Formel)
Die Fakultät und die Stirlingformel

Die Stirling-Formel ist eine mathematische Formel, mit der man für große Fakultäten Näherungswerte berechnen kann. Sie ist nach dem schottischen Mathematiker James Stirling benannt.

GrundlegendesBearbeiten

 
Relative Abweichung der einfachen Stirlingformel von der Fakultät in Abhängigkeit von n

Die Stirling-Formel in ihrer einfachsten Form ist eine asymptotische Formel

 

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Fakultät (!), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).

Eine Herleitung findet sich im Artikel Sattelpunktsnäherung.

Genauer gilt für  :

 

Insbesondere ist der Grenzwert des Bruches für   gleich 1.

Die Stirling-Reihe für   nach der Euler-MacLaurinschen Summenformel lautet

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Als Näherung betrachtet man lediglich eine endliche Zahl von Gliedern. Der Fehler liegt in der Größenordnung des ersten vernachlässigten Gliedes. Beispiel: bricht man nach dem dritten Glied ab, ist der absolute Fehler kleiner als  . Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes  , sie ist eine asymptotische Reihe.

Für   genügt ein Glied für einen relativen Fehler kleiner als ein Prozent:

 

Für   genügen zwei Glieder für einen relativen Fehler kleiner als 0,1 Prozent:

 

Für kleine   lässt sich aus der Formel für vier Glieder eine einfache Formel für   ableiten. Mit

 

ergibt sich die Approximation

 

Der Fehler ist (bei minimalem zusätzlichem Rechenaufwand zur Berechnung der ersten beiden Glieder) kleiner als 3 % für  ,[1] kleiner als 1 % für   und kleiner als 0,1 % für  .

Durch Einsetzen in die Exponentialfunktion ergibt sich für   die asymptotische Entwicklung:

 

und durch Einsetzen der Stirlingschen Reihe in die Reihe der Exponentialfunktion:

 

wobei die Koeffizienten   keinem einfachen Bildungsgesetz genügen.[2]

Herleitung der ersten beiden GliederBearbeiten

Die Formel wird oft in der statistischen Physik für den Grenzfall großer Teilchenzahlen verwendet, wie sie in thermodynamischen Systemen (Größenordnung   Teilchen) vorkommen. Für thermodynamische Betrachtungen ist es meist völlig ausreichend, die ersten beiden Glieder   zu berücksichtigen. Diese Formel lässt sich einfach gewinnen, indem man nur den ersten Term der Euler-MacLaurin-Formel verwendet:

 

und wird dann in dieser Form gebraucht:

  [3]

Verallgemeinerung: Stirling-Formel für die GammafunktionBearbeiten

Für alle   gilt

 ,

wobei   eine Funktion ist, die   für alle   erfüllt.

Zu den einzelnen Elementen dieser Formel siehe Gammafunktion ( ), Quadratwurzel (√), Kreiszahl (π) und Eulersche Zahl (e).

Für alle   ist der Wert einer Approximation von   nach obiger Formel mit   also immer etwas zu klein. Der relative Fehler ist aber für   kleiner als 1 % und für   kleiner als 0,1 %.

Es gilt für alle  

 ,

womit sich als Spezialfall die Approximationsformeln des vorigen Abschnitts ergeben.

AnwendungenBearbeiten

Die Stirling-Formel findet überall dort Verwendung, wo die exakten Werte einer Fakultät nicht von Bedeutung sind. Insbesondere bei der Berechnung der Information einer Nachricht und bei der Berechnung der Entropie eines statistischen Ensembles von Subsystemen ergeben sich mit der Stirling-Formel starke Vereinfachungen.

Beispiel: Gegeben sei ein System mit   verschiedenen Subsystemen, von denen jedes   verschiedene Zustände annehmen kann. Ferner sei bekannt, dass der Zustand   mit der Wahrscheinlichkeit   angenommen werden kann. Damit müssen sich   Subsysteme im Zustand   befinden und es gilt  . Die Zahl der möglichen Verteilungen eines so beschriebenen Systems beträgt dann

 

und für dessen Entropie   gilt

 

Mittels der Stirling-Formel kann man nun bis auf Fehler der Ordnung   diese Formel vereinfachen zu

   
 
 
 
 

Damit ergibt sich für die Entropie jedes der   Subsysteme die bekannte Formel

 

In ähnlicher Weise erhält man (bis auf einen konstanten Vorfaktor) für den Informationsgehalt eines ebenso definierten Systems die Formel

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. Hierbei wird   mit 1 gleichgesetzt, also dem Grenzwert für   an der Stelle 0.
  2. In der OEIS finden sich Reihen für Zähler und Nenner von  , zusammen mit Kommentaren und Literaturhinweisen, auf Mathworld auch Formeln für das Bildungsgesetz (alles auf Englisch!).
  3. G. Joos: Lehrbuch der theoretischen Physik, 1956, S. 516