In der Analysis wird die Sattelpunktsnäherung verwendet, um Integrale der Form

näherungsweise zu berechnen. Die Methode stammt von Pierre Simon de Laplace (1774) und wird manchmal nach ihm benannt. Sie ist Teil der asymptotischen Analyse.

Falls die Funktion analytisch ist und ein globales Minimum bei besitzt, so erhält man:

mit

.

Die zweite Ableitung ist positiv, da hier ein Minimum vorliegt. Das Ergebnis gilt asymptotisch, das heißt für gegen Unendlich.

Dabei können auch endliche Integrationsgrenzen vorliegen.

Die Verallgemeinerung der Sattelpunktnäherung in die komplexe Zahlenebene wird auch Sattelpunktmethode genannt. Aus ihr erklärt sich die Benennung nach einem Sattelpunkt.

Alternative FormulierungBearbeiten

Es kann auch ein anderes Vorzeichen im Exponenten betrachtet werden:

Mit anderem Vorzeichen gilt für

 

falls bei   ein globales Maximum vorliegt asymptotisch:  

mit  .

Da hier ein Maximum vorliegt, ist die zweite Ableitung negativ.

BegründungBearbeiten

Betrachtet wird der erste Fall (Minimum bei  ), die Argumentation im zweiten Fall ist analog.

Für große   wird die Exponentialfunktion außerhalb der Umgebung von   beliebig klein. Deshalb wird   um   in eine Taylorreihe entwickelt:

 .

(Wegen des globalen Minimums bei  ist  )


Einsetzen ins Integral liefert

 .

Die Größe   ist also der Grenzwert   des Produkts aus   und dem nichtelementaren Integral. Letzteres ist eng mit dem gaußschen Fehlerintegral   bzw. der Gauß-Verteilung verwandt. Das Integral   ist von der Form  , wobei   gilt. Es ist insbesondere  , da das Minimum bei   eine positive zweite Ableitung bedingt, was im Folgenden wichtig sein wird:


Für alle   mit   lässt sich folgende Relation (bspw. über Substitution  ) zeigen:

 

Weiterhin beeinflusst eine Verschiebung von   um die Konstante   nicht den Wert von  , da sich das Integral durch die lineare Substitution   mit   leicht in das obige Integral   überführen lässt, dessen Wert bereits bekannt ist.


Man erhält also mit  :

 


Somit folgt für   (asymptotisch):

 

AnwendungenBearbeiten

Die Sattelpunktsnäherung und Sattelpunktmethoden findet verschiedene Anwendungen in der theoretischen Physik, unter anderem in der statistischen Physik im Grenzfall großer Systeme, in der Quantenfeldtheorie bei der Auswertung von Pfadintegralen oder in der Optik.

Eine Anwendung ist die Stirlingformel

 

für große  .

Aus der Definition der Gammafunktion folgt

 

Mit der Variablentransformation   (so dass :: ) erhält man:

 

Nun kann man die Sattelpunktnäherung in der zweiten Form (für Maxima) anwenden mit

 

mit den Ableitungen

 
 

Das Maximum von f liegt bei   mit dem Wert der zweiten Ableitung −1. Man erhält mit der Sattelpunktnäherung:

 

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Sattelpunktnäherung wird bei Betrachtung im Komplexen in der Methode des steilsten Abstiegs (englisch: Method of steepest descent) bzw. der Methode der stationären Phase (englisch: Method of stationary phase) verallgemeinert (allgemein Sattelpunktmethode). Ziel ist die asymptotische Auswertung von geschlossenen Wegintegralen in der komplexen Zahlenebene ( )

 

für große reelle  . Dabei deformiert man im Komplexen den Integrationsweg so, dass ein stationärer Punkt (Nullstelle der ersten Ableitung von g)   von   auf dem Integrationsweg liegt und geht dann ähnlich wie oben vor (unter zusätzlicher Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes). In der Version der Methode des steilsten Abstiegs legt man den Integrationsweg bei   so, dass der Realteil u von g dort ein Maximum hat. Da der Realteil u von g eine harmonische Funktion ist, können   und   nicht dasselbe Vorzeichen haben: es liegt ein Sattelpunkt vor und man legt den Integrationsweg längs des Wegs des „steilsten Abstiegs“. Daher der Name der Methode.

Bei der Methode der stationären Phase werden speziell Integrale betrachtet, bei denen der Exponent der Exponentialfunktion längs des Weges imaginär ist:

 

Mit einer reellen Funktion u und großem  .

Die Methode wurde zuerst von Peter Debye 1909 zur Abschätzung von Besselfunktionen veröffentlicht, aber auch schon von Bernhard Riemann benutzt.[1]

LiteraturBearbeiten

Zu Sattelpunktmethoden:

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Sattelpunktmethode. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.