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Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es wird häufig mit bezeichnet und ist das Integral von bis über die Dichtefunktion der Normalverteilung mit und . Da die gesamte Fläche unterhalb der Dichtekurve (auch Gauß-Glocke genannt) gleich 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung).

DefinitionBearbeiten

Das Fehlerintegral ist durch

 

definiert.

Lässt man das Integral erst bei   statt bei   beginnen, so spricht man von  :

 

Zusammenhang mit der gaußschen FehlerfunktionBearbeiten

Durch die Substitution   in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus   bzw.   die Fehlerfunktion

 

bzw.

 

herleiten.

AnwendungBearbeiten

Das Fehlerintegral   gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich   annimmt. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert größer oder gleich   ermittelt werden, indem man   bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung   angenommen, das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich −5 V ... +5 V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5 V:

 

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5 V:

 

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus  

NormierungBearbeiten

Um die Normiertheit   nachzuweisen, berechnen wir

 

Auch wenn keine Stammfunktion des Integranden als elementare Funktion ausdrückbar ist, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen De Moivres aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von Laplace und Poisson aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.[1] Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson[2]) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:

 

Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.

Statt längs kartesischer Koordinaten wird über   nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution   und daraus   entspricht, und man erhält schließlich mit dem Transformationssatz

 

Damit erhalten wir:

 

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten