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Als verallgemeinerter Logarithmus und verallgemeinerte Exponentialfunktion werden spezielle Funktionen bezeichnet, welche ähnliche Wachstumseigenschaften und Beziehungen zueinander haben wie Logarithmus und Exponentialfunktion und über bestimmte Funktionalgleichungen iterativ von einem Intervall auf der reellen Achse ausgehend definiert werden.

Eingeführt wurden sie 1986 durch Charles William Clenshaw, Daniel W. Lozier, Frank W. J. Olver und Peter R. Turner, wenn es auch Vorgänger in der Literatur gibt. Die Hauptanwendung ist in der Gleitkomma-Arithmetik.

DefinitionBearbeiten

Eine verallgemeinerte Exponentialfunktion erfüllt folgende drei Bedingungen:[1][2][3]

 , für  
 
  ist streng monoton steigend für  

Dabei ist   wie üblich die gewöhnliche Exponentialfunktion (und   ist im Folgenden der natürliche Logarithmus,   die Eulersche Zahl).

  ist streng monoton zunehmend von   zu   wenn   von   bis   zunimmt und besitzt damit eine Inverse auf  , den zugehörigen verallgemeinerten Logarithmus  .

Für den verallgemeinerten Logarithmus   gilt:

 , für  
 
  ist streng monoton steigend für  

Die Werte an den ganzzahligen Stellen sind gleich:  ,  ,   usw. Wie bei der Gammafunktion kann die vollständige Funktion aus den Werten an den ganzzahligen Stellen konstruiert werden.

Die Lösung ist aber nicht eindeutig, sondern hängt von der Wahl des Wachstums im Interval   ab. Die einfachste Wahl besteht darin, dass man vorgibt:

  im Intervall  .

Das entspricht auch der hauptsächlichen Anwendungen in der Gleitkommaarithmetik (siehe unten). Dann folgt:

 , für  
 , für  

und allgemein nach  -facher Iteration:

 , für  

Analog für den Logarithmus:

 , für  
 , für  
 , für  

und allgemein nach  -facher Iteration (mit   der  -fachen Iteration des gewöhnlichen Logarithmus):

 , für  

und ein  , dass durch   bestimmt ist.

Die erste Ableitung von   ist stetig bei  , die zweite Ableitung hat einen Sprung von   auf   (entsprechend an den anderen ganzzahligen Stellen).

AnwendungBearbeiten

Die Funktionen finden Anwendung in einer Darstellung reeller Zahlen für die Präzisionsarithmetik im Computer, die als Level-Index-Arithmetik (LI) bezeichnet wird und von Clenshaw und Olver 1984 eingeführt wurde.[4] In der Gleitkommaarithmetik muss ein Kompromiss zwischen Präzision und der Möglichkeit der Darstellung sehr großer Zahlen gefunden werden. In der LI werden Zahlen durch Iteration der Exponentialfunktion dargestellt, wobei der Iterationsgrad als Stufe (Level)   bezeichnet wird.

 

Der Exponent   ist der Index. Beispiel: :   wird dargestellt als

 .

LiteraturBearbeiten

  • C. W. Clenshaw, D. W. Lozier, F. W. J. Olver, P. R. Turner: Generalized exponential and logarithmic functions. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 12, Nr. 5–6, 1986, S. 1091–1101, doi:10.1016/0898-1221(86)90233-6.
  • C. W. Clenshaw, F. W. J. Olver, P. R. Turner: Level-index arithmetic: An introductory survey, in: Turner (Hrsg.), Numerical Analysis and Parallel Processing. Lecture Notes in Mathematics. 1397, 1989, S. 95–168.
  • Hellmuth Kneser: Reelle analytische Lösungen der Gleichung   und verwandter Funktionalgleichungen. In: J. Reine Angew. Math. Band 187, 1950, ISSN 0075-4102, S. 56–67 (uni-goettingen.de).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Generalized Logarithms and Exponentials. Abgerufen am 6. Juni 2018 (englisch).
  2. Peter Walker: Infinitely Differentiable Generalized Logarithmic and Exponential Functions. In: Mathematics of Computation. Band 54, Nr. 196, 1991, S. 723–733 (eretrandre.org [PDF]).
  3. Clenshaw u. a., Computers & Mathematics with Applications, Band 12, 1986, S. 1091
  4. Clenshaw, Olver, Beyond floating point arithmetic, Journal of the Association for Computing Machinery, Band 31, 1984, S. 319–328