Doob-Zerlegung

mathematischer Satz

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.

AussageEdit

Seien   ein Wahrscheinlichkeitsraum und   eine Filtrierung. Jeder an   adaptierte und integrierbare stochastische Prozess   ist dann darstellbar als  , wobei   ein Martingal und   vorhersagbar ist, d. h. es gilt:   ist  -messbar für alle  . Mit der Festsetzung   ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist   genau dann monoton wachsend, wenn   ein Submartingal ist.

BeweisEdit

Definiert man für  

  •   und
  •  

dann gilt  . Die Martingaleigenschaft von   und Vorhersagbarkeit von   folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung   der Prozess   sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls   ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von   größer oder gleich 0, also ist   ein monoton wachsender Prozess.

LiteraturEdit