Vorhersagbarer Prozess

stochastischer Prozess, bei dem es möglich ist, einen kurzen Zeitschritt in die Zukunft zu schauen

Ein vorhersagbarer Prozess, auch vorhersehbarer Prozess, previsibler Prozess oder prognostizierbarer Prozess genannt, ist ein spezieller stochastischer Prozess, bei dem es möglich ist, einen kurzen Zeitschritt in die Zukunft zu schauen. Dies bedeutet nicht, dass Ausgänge schon bekannt sind, sondern lediglich, dass Informationen über die Verteilung gewonnen werden können. Vorhersagbare Prozesse spielen beispielsweise eine Rolle bei der Doob-Zerlegung, die einen beliebigen integrierbaren stochastischen Prozess in diskreter Zeit in zwei Teilprozesse zerlegt: ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess. Außerdem finden sie Anwendung bei der Definition des diskreten stochastischen Integrals und des stochastischen Integrals.

DefinitionBearbeiten

Diskreter FallBearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung   und ein stochastischer Prozess  . Gilt stets

 

für alle  , so heißt der Prozess vorhersagbar, previsibel oder prognostizierbar.

Stetiger FallBearbeiten

Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare σ-Algebra auf   als

 

(siehe adaptierter stochastischer Prozess, Linksstetiger Prozess). Ein Prozess heißt dann vorhersagbar, wenn   eine  -messbare Abbildung ist.

Interpretation des diskreten FallsBearbeiten

Die σ-Algebra   modelliert die Informationen, die zum Zeitpunkt n-1 zur Verfügung stehen. Betrachtet man nun die bedingte Erwartung der Zufallsvariable   unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Informationen aus   bereits zur Verfügung stehen, so ist

 .

Dies folgt daraus, dass    -messbar ist und demnach  . Hat man demnach die Informationen aus dem (n-1)-ten Schritt zur Verfügung, lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen.

BeispielBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten