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Hitting time als Beispiel für eine Stoppzeit

In der Stochastik bezeichnet der Begriff der Stoppzeit eine spezielle Art von Zufallsvariablen, die auf filtrierten Wahrscheinlichkeitsräumen definiert werden. Stoppzeiten sind nicht nur von Bedeutung für die Theorie der stochastischen Prozesse (beispielsweise bei der Lokalisierung von Prozessklassen oder Untersuchungen von gestoppten Prozessen), sondern auch von praktischer Relevanz, etwa für das Problem des optimalen Ausübungszeitpunkts für amerikanische Optionen.

In der aus dem Russischen in das Englische übersetzten Fachliteratur finden sich auch die Bezeichnungen Markov moment (dt. Markow-Moment) oder Markov time (dt. Markow-Zeit)[1].

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum  .

Diskreter FallBearbeiten

Ist eine Filtrierung   in   gegeben, so heißt eine Zufallsvariable

 

eine Stoppzeit (bezüglich  ), wenn

 

ist.

Allgemeiner FallBearbeiten

Gegeben sei eine geordnete Indexmenge  , die ein Intervall aus   ist. Ist eine Filtrierung   in   gegeben, so heißt eine Zufallsvariable

 

eine Stoppzeit (bezüglich  ), wenn

 .

Endliche StoppzeitBearbeiten

Eine Stoppzeit   heißt eine endliche Stoppzeit, wenn

 

ist.

BemerkungBearbeiten

Zu Beachten ist, dass die Eigenschaft, eine Stoppzeit zu sein, keine Eigenschaft der Zufallsvariable alleine, sondern eine Eigenschaft der Zufallsvariable in Verbindung mit einer Filtrierung ist. Daher muss bei Angabe oder Definition immer die Filtrierung mit angegeben werden.

InterpretationBearbeiten

Eine Stoppzeit kann man als die Wartezeit interpretieren, die vergeht, bis ein bestimmtes zufälliges Ereignis eintritt. Wenn wie üblich die Filtrierung die vorhandene Information zu verschiedenen Zeitpunkten angibt, bedeutet die obige Bedingung also, dass zu jeder Zeit bekannt sein soll, ob dieses Ereignis bereits eingetreten ist oder nicht.

BeispieleBearbeiten

  • Ein Glücksspieler beginnt zum Zeitpunkt   mit einem Startkapital von 10 € zu spielen; dabei absolviert er jede Minute ein Spiel (das der Einfachheit halber selbst keine Zeit in Anspruch nimmt), bei dem er mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit einen Euro gewinnt und ansonsten einen Euro verliert (der Kontostand des Spielers ist dann ein Martingal). Die Wartezeit, bis der Spieler sein gesamtes Geld verspielt hat, ist dann ein Beispiel für eine Stoppzeit bezüglich der natürlichen Filtrierung des Experiments: Zu jedem Zeitpunkt weiß der Spieler, ob er bereits pleite ist oder nicht. Dagegen wäre die Wartezeit bis zum Augenblick seines vorletzten Spiels keine Stoppzeit: In dem Moment, da man sein vorletztes Spiel absolviert, weiß man noch nicht, dass das nächste Spiel das letzte sein wird.
  • Die Treffzeit (hitting-time) eines Wiener-Prozesses   mit Drift   zum Level   ist definiert als  .
  ist eine Stoppzeit. Sie ist nach einer inversen Gauß-Verteilung verteilt, die Dichte ist
 .
 
Beispiel einer hitting time: Die zweidimensionale Brownsche Bewegung berührt irgendwann die Ellipse.
  • Ist allgemeiner   ein reellwertiger, adaptierter Càdlàg-Prozess, also ein stochastischer Prozess, dessen Pfade alle rechtsseitig stetig sind und Grenzwerte von links besitzen, und ist   eine abgeschlossene Menge, so ist die Treffzeit von   in  , definiert als
 
eine Stoppzeit.   gibt also den infimalen Zeitpunkt an, an dem   zum ersten Mal die Menge   betritt. Dabei ist es essentiell, dass   abgeschlossen ist: Zum Zeitpunkt   könnte   bereits auf dem Rand von  , aber noch nicht in   sein und die Menge direkt im Anschluss betreten. Dann wäre zwar   (man beachte das Infimum), jedoch ist in   noch nicht bekannt, ob   gleich betreten wird oder nicht.

Abgeleitete KonzepteBearbeiten

Gestoppter ProzessBearbeiten

Ein gestoppter Prozess ist eine Kombination eines stochastischen Prozesses und einer Stoppzeit, die Werte in der Indexmenge ("Zeitmenge") des stochastischen Prozesses annimmt. Gestoppte Prozesse sind Prozesse, die nach einer zufälligen Zeit angehalten werden bzw. ihren Wert nicht mehr verändern. Sie modellieren beispielsweise Ausstiegsstrategien bei einer zeitlichen Abfolge von Glücksspielen.

LokalisierungBearbeiten

Unter einer Lokalisierung versteht man die Erweiterung einer Prozessklasse, die eine gewisse Eigenschaft besitzt, um die Menge aller Prozesse, die gestoppt unter aufsteigenden Folgen von Stoppzeiten ebenfalls diese Eigenschaft besitzt. Typisches Beispiel sind die Martingale und die lokalen Martingale.

σ-Algebra der τ-VergangenheitBearbeiten

Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit ist eine spezielle σ-Algebra, welche über die Filtrierung und die Stoppzeit definiert wird. Sie findet beispielsweise Anwendung bei der Definition der starken Markow-Eigenschaft und dem Optional Sampling Theorem.

RechenregelnBearbeiten

Es seien   und   Stoppzeiten bezüglich einer Filtration   sowie

 .

Dann gilt

  • Das Minimum   ist eine  -Stoppzeit.
  • Das Maximum   ist eine  -Stoppzeit.
  •   ist eine  -Stoppzeit.
  •   ist eine  -Stoppzeit, wobei   eine feste Konstante ist.
  •   ist eine  -Stoppzeit.
  •   ist eine  -Stoppzeit.
  •   ist eine  -Stoppzeit.
  •   ist eine  -Stoppzeit.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A.N. Shiryaev: Markov moment. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).