Quadratischer Variationsprozess

Ein (quadratischer) Variationsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess in der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er wird aus einem weiteren Prozess (einem Martingal oder einem lokalen Martingal) gewonnen und erlaubt im Falle diskreter Indexmengen beispielsweise äquivalente Formulierungen des Martingalkonvergenzsatzes. Im zeitstetigen Fall entsprechen die Pfade des quadratischen Variationsprozesses fast sicher der quadratischen Variation der Pfade des zugrundeliegenden Prozesses.

In der stochastischen Analysis treten quadratische Variationsprozesse als Integratoren im Ito-Integral auf.

Definition bei diskreter IndexmengeBearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung   und sei   ein quadratintegrierbares Martingal.

Dann heißt derjenige vorhersagbare Prozess  , durch den der stochastische Prozess

 

zu einem Martingal wird, der quadratische Variationsprozess von  . Er ist eindeutig bestimmt.[1]

DarstellungBearbeiten

Aus der Doob-Zerlegung folgt direkt

 ,

woraus sich die Darstellung

 .

herleiten lässt.

BeispielBearbeiten

Gegeben sei eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen   mit   und  .

Dann ist

 

ein Martingal bezüglich der kanonischen Filtrierung und quadratintegrierbar.

Mittels der zweiten der beiden obigen Darstellungen und   sowie   folgt

 ,

nach den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte, da die   nach Voraussetzung unabhängig sind. In diesem Fall ist der quadratische Variationsprozess rein deterministisch. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.

EigenschaftenBearbeiten

Aus der zweiten der obigen beiden Darstellungen erhält man durch Bildung des Erwartungswertes direkt

 

Da aber nach dem Martingalkonvergenzsatz gilt, dass ein Martingal genau dann fast sicher und im quadratischen Mittel konvergiert, wenn es im quadratischen Mittel beschränkt ist, folgt die Aussage

Es ist   genau dann, wenn   im quadratischen Mittel konvergiert.[2]

Etwas schwächer gilt noch

Ist   fast sicher, so konvergiert   fast sicher.[3]

Außerdem ist der quadratische Variationsprozess eines gestoppten Prozesses der gestoppte quadratische Variationsprozess, es gilt somit die Vertauschungsrelation

 

für Stoppzeiten  .

Definition bei stetiger IndexmengeBearbeiten

Gegeben sei ein stetiges lokales Martingal  . Dann heißt der stetige, monoton wachsende und adaptierte Prozess   mit  , mit dem der Prozess

 

zu einem stetigen lokalen Martingal wird, der quadratische Variatonsprozess von  . Er ist eindeutig bestimmt.[4]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 210.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 275.
  3. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 227.
  4. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 513.