Martingalkonvergenzsatz

mathematischer Satz

Als Martingalkonvergenzsatz oder Doobscher Martingalkonvergenzsatz (benannt nach Joseph L. Doob) werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmte Aussagen über die Konvergenz von Martingalen bezeichnet. Ein Martingal ist ein spezieller stochastischer Prozess, der als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels angesehen werden kann. Unter Zusatzvoraussetzungen an die Beschränktheit des Prozesses lässt sich dessen Konvergenz folgern. Dabei unterscheiden sich die verschiedenen Versionen des Satzes hinsichtlich der Art der Beschränktheit und der Art der Konvergenz. Wesentliches Hilfsmittel bei dem Beweis ist die Aufkreuzungsungleichung. Analoge Konvergenzsätze existieren auch für Rückwärtsmartingale.

VoraussetzungenBearbeiten

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum   mit einer Filtrierung   und   sei eine Folge   reeller Zufallsvariablen gegeben, die an die Filtrierung adaptiert ist und integrierbar ist. Das bedeutet, dass für alle   die Zufallsvariable   messbar bezüglich   ist und   erfüllt.

Der Prozess   heißt Martingal, wenn für alle   die Gleichung   gilt. Gilt stattdessen   für alle   dann wird der Prozess ein Submartingal genannt. Im Fall   für alle   heißt der Prozess Supermartingal. Jedes Martingal ist ein Sub- und ein Supermartingal. Ein Prozess   ist genau dann ein Supermartingal, wenn   ein Submartingal ist.

Versionen des MartingalkonvergenzsatzesBearbeiten

Fast sichere KonvergenzBearbeiten

Es sei   ein Submartingal und es gebe eine Konstante   mit   für alle   das heißt, der Erwartungswert der Positivteile   ist beschränkt. Dann existiert eine  -messbare Zufallsvariable   mit   fast sicher.

BeweisBearbeiten

Für den Beweis ist das sog. Aufkreuzungslemma von entscheidender Bedeutung. Dieses sagt aus, dass für zwei reelle Zahlen  , die zwei Stoppzeiten   mit   und

 
 

und die Zufallsvariable

 

der Anzahl der Aufkreuzungen die Ungleichung

 

erfüllt. Aus dieser kann mittels der Ungleichung   aus der vorausgesetzten gleichmäßigen Beschränktheit der   gefolgert werden, dass   ebenfalls gleichmäßig beschränkt ist. Der monotone Limes   existiert jedoch, und es folgt  . Für beliebige reelle Zahlen   gilt aber

 

und damit folgt, dass das Ereignis

 

fast sicher nicht eintritt. Also wird   fast sicher gegen ein   konvergieren. Nach dem Lemma von Fatou ist einerseits  , ähnlich wird   gefolgert.

Konvergenz in p-ten MittelBearbeiten

Sei   und es gebe eine Konstante   mit   für alle   das heißt, die Folge   ist beschränkt in im Raum   Dann existiert eine  -messbare Zufallsvariable   mit   fast sicher und in  .

Die Aussage ist für   im Allgemeinen falsch: Ein in   beschränktes Martingal muss nicht unbedingt in   konvergieren.

Konvergenz bei gleichgradiger IntegrierbarkeitBearbeiten

Ist   ein gleichgradig integrierbares Submartingal, dann existiert eine  -messbare Zufallsvariable   mit   fast sicher und in  .

Weiter gilt   und, im Falle dass   ein Martingal ist, sogar  . Man sagt, das Martingal wird durch   abgeschlossen.

BeispielBearbeiten

Der einfache symmetrische Random Walk   mit unabhängigen, identisch verteilten   und   ist ein Martingal. Wegen   ist kein Pfad konvergent.

Für   ist durch   eine Stoppzeit gegeben und das gestoppte Martingal   mit   ist ebenfalls ein Martingal. Wegen   erfüllt es die Voraussetzungen des Martingalkonvergenzsatzes für fast sichere Konvergenz. Der einzig mögliche Grenzwert ist  , es gilt also

  fast sicher.

Insbesondere folgt, dass   gilt.

Wegen   ist das Martingal   in   beschränkt. Es konvergiert jedoch nicht in   gegen  , denn in diesem Fall müsste auch   gegen   konvergieren, im Widerspruch zu   für alle  .

LiteraturBearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Abschnitt 11.2.